Taburan binomial

Bayangkan satu ujian dengan lima soalan. Setiap soalan mempunyai empat pilihan jawapan dan hanya satu daripadanya betul. Anda langsung tidak belajar untuk ujian itu, jadi anda hanya meneka jawapan bagi setiap soalan. Berapakah kebarangkalian anda meneka tepat dua soalan dengan betul? Inilah kegunaan taburan binomial.

Jika hanya ada satu soalan, perkara ini sangat mudah. Daripada empat pilihan, satu betul, jadi kita meneka dengan betul dengan kebarangkalian $\frac{1}{4}$ dan salah dengan kebarangkalian $\frac{3}{4}$. Masalahnya, terdapat lima soalan dan kita mahu dua daripadanya betul dan tiga salah.

Satu susunan tertentu

Mula-mula kita fokus pada satu susunan tertentu. Katakan kita meneka dua soalan pertama dengan betul dan tiga soalan yang lain salah. Kita tulis susunan ini sebagai BBGGG, dengan B bermaksud berjaya, iaitu jawapan betul, dan G bermaksud gagal, iaitu jawapan salah.

Soalan-soalan ini tidak bersandar antara satu sama lain. Meneka soalan pertama dengan betul tidak membantu atau merugikan soalan kedua. Jadi, kita boleh mendarab kebarangkalian bagi setiap soalan:

$$P(\text{BBGGG})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}$$

Faktor yang berulang kita tulis sebagai kuasa:

$$P(\text{BBGGG})={\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$$

Hitung kuasanya:

$$P(\text{BBGGG})=\frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{27}{1024}$$

Tetapi ini hanyalah satu daripada banyak kemungkinan. Dua jawapan betul juga boleh muncul dalam susunan BGBGG, GGGBB dan seterusnya. Setiap susunan seperti ini mempunyai kebarangkalian yang sama, iaitu $\frac{27}{1024}$, kerana setiap satunya mengandungi dua faktor $\frac{1}{4}$ dan tiga faktor $\frac{3}{4}$, cuma dalam susunan yang berbeza, dan susunan faktor tidak penting dalam pendaraban.

Berapa banyak susunan seperti ini yang wujud? Daripada lima soalan, kita memilih dua soalan yang dijawab dengan betul, dan susunan pemilihan tidak penting. Inilah gabungan:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=10$$

Jadi, terdapat sepuluh susunan yang berbeza dan setiap satunya mempunyai kebarangkalian $\frac{27}{1024}$. Susunan-susunan ini saling eksklusif, jadi kebarangkaliannya dijumlahkan, iaitu didarab dengan sepuluh:

$$P(\text{tepat dua betul})=10\cdot \frac{27}{1024}=\frac{270}{1024}\approx 0.26$$

Jadi, dengan meneka, anda menjawab tepat dua soalan dengan betul dengan kebarangkalian kira-kira 26%. Kita mungkin tergoda untuk mengira ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$ sahaja dan melupakan sepuluh susunan itu. Hasilnya hanya satu per sepuluh daripada nilai sebenar.

Rumus

Kaedah yang sama boleh digunakan bagi sebarang bilangan soalan dan sebarang kebarangkalian. Secara am, setiap soalan dipanggil percubaan dan jawapan betul dipanggil kejayaan. Bilangan kejayaan ditandakan sebagai pemboleh ubah rawak X, dan taburan binomial ialah taburan kebarangkalian bagi pemboleh ubah ini. Jika anda hanya mencari rumusnya, kebarangkalian bahawa tepat k daripada n percubaan berjaya dikira dengan

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},$$

dengan p ialah kebarangkalian berjaya dalam satu percubaan. Kuasa p^k sepadan dengan k kejayaan, kuasa (1 − p)^{n − k} sepadan dengan n − k kegagalan yang selebihnya, dan pekali binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ menyatakan bilangan susunan yang boleh menghasilkan keadaan ini.

Ujian kita mempunyai n = 5, k = 2 dan $p=\frac{1}{4}$. Gantikan:

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{270}{1024}$$

Hasilnya sama seperti tadi. Rumus ini sebenarnya hanyalah cara ringkas untuk menulis kaedah dalam bahagian sebelumnya.

Perhatian: rumus ini hanya sesuai digunakan dalam keadaan tertentu. Empat syarat mesti dipenuhi:

• bilangan percubaan n ditetapkan lebih awal,
• percubaan-percubaan itu tidak bersandar antara satu sama lain,
• kebarangkalian berjaya p sama dalam semua percubaan,
• setiap percubaan hanya mempunyai dua kesudahan: berjaya atau gagal.

Meneka jawapan ujian memenuhi keempat-empat syarat ini. Tetapi jika anda tahu jawapan bagi sesetengah soalan, kebarangkalian berjaya akan berbeza antara soalan dan rumus ini tidak lagi berlaku.

Sekurang-kurangnya

Dalam amalan, kita sering tidak berminat dengan “tepat dua”, tetapi dengan “sekurang-kurangnya satu”. Berapakah kebarangkalian kita meneka sekurang-kurangnya satu soalan dengan betul? Kita boleh mengira P(X = 1), P(X = 2) hingga P(X = 5) dan menjumlahkan semuanya. Cara yang lebih cepat ialah melalui peristiwa pelengkap. Lawan bagi “sekurang-kurangnya satu betul” ialah “semuanya salah”. Tidak meneka satu pun dengan betul bermaksud salah lima kali berturut-turut:

$$P(X=0)={\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{1024}$$

Tolak hasil ini daripada satu:

$$P(X\ge 1)=1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^5=1-\frac{243}{1024}=\frac{781}{1024}$$

Kita meneka sekurang-kurangnya satu soalan dengan betul dengan kebarangkalian kira-kira 76%. Kedengarannya memberangsangkan, tetapi dengan satu jawapan betul daripada lima, anda tidak akan lulus ujian.

Andaikan kita memerlukan sekurang-kurangnya tiga jawapan betul untuk lulus ujian. Peristiwa pelengkap tidak membantu di sini kerana pelengkapnya juga terdiri daripada tiga sebutan, jadi kita jumlahkan tiga kes itu secara langsung. Pertama, tiga betul:

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^3\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2=10\cdot \frac{1}{64}\cdot \frac{9}{16}=\frac{90}{1024}$$

Empat betul:

$$P(X=4)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})\cdot {\left(\frac{1}{4}\right)}^4\cdot \frac{3}{4}=5\cdot \frac{1}{256}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{1024}$$

Akhir sekali, kelima-lima betul:

$$P(X=5)={\left(\frac{1}{4}\right)}^5=\frac{1}{1024}$$

Jumlahkan:

$$P(X\ge 3)=\frac{90+15+1}{1024}=\frac{106}{1024}\approx 0.10$$

Dengan meneka, kita lulus ujian dengan kebarangkalian kira-kira 10%. Jadi, memang berbaloi untuk belajar.

Jika kita juga mengira $P(X=1)=\frac{405}{1024}$ dengan rumus yang sama, kita memperoleh kesemua enam kemungkinan dan boleh melukisnya. Di atas setiap palang tertulis pengangka pecahan, manakala penyebutnya sentiasa 1024. Palang merah di sebelah kanan garis putus-putus sepadan dengan kes kita lulus ujian:

Sekarang kita boleh menyemak sama ada pengiraan kita betul. Jumlah semua pengangka mestilah 1024 kerana salah satu bilangan jawapan betul pasti berlaku:

$$243+405+270+90+15+1=1024$$

Betul. Graf juga menunjukkan bahawa paling kerap kita meneka satu soalan dengan betul. Secara purata, kita meneka $n\cdot p=5\cdot \frac{1}{4}=1.25$ soalan dengan betul, iaitu tepat seperti yang dijangkakan: satu perempat daripada lima.