Kebarangkalian menang dalam cabutan 6 daripada 49

Bagaimanakah kita mengira kebarangkalian menang dalam cabutan nombor jenis “6 daripada 49”? Bolehkah peluang menang ditingkatkan? Mari kita lihat. Dalam cabutan seperti ini, sebuah kotak cabutan mengandungi 49 nombor dari 1 hingga 49, dan enam nombor dicabut secara rawak daripadanya. Peserta cuba meneka enam nombor yang akan dicabut. Berapakah kebarangkalian kita meneka keenam-enam nombor yang dicabut?

Kita mulakan dengan mengira bilangan semua gabungan yang mungkin dicabut. Perkara penting yang perlu diingat ialah tiada nombor yang boleh dicabut dua kali dalam satu cabutan, jadi nombor 1, 2, 3, 4, 5, 5 tidak mungkin dicabut. Faktor penting kedua ialah susunan nombor dicabut tidak penting. Jika nombor dicabut dalam susunan 1, 2, 3, 4, 5, 6 pada satu masa dan dalam susunan 6, 5, 4, 3, 2, 1 pada masa yang lain, kedua-duanya ialah gabungan nombor yang sama. Jika kita meneka nombor-nombor ini, kita tetap menang.

Jadi, kita tidak boleh menggunakan pilih atur, yang mementingkan susunan, tetapi kita menggunakan gabungan, yang tidak mementingkan susunan. Kita bertanya berapa banyak gabungan berbeza yang wujud apabila enam nombor dipilih daripada 49. Kita tulis dalam bentuk pekali binomial seperti berikut:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})$$

Rumus untuk mengira pekali binomial ini ialah:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

dengan tanda seru menandakan faktorial. Apabila nilai digantikan, kita memperoleh:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})=\frac{49!}{(49-6)!\cdot 6!}=\frac{49!}{43!\cdot 6!}$$

Pengangka boleh ditulis secara penuh:

$$\frac{49!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}$$

Sekarang kita boleh membatalkan 43!:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\cdot 43!}{43!\cdot 6!}=\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}$$

Sekarang kita hanya perlu menyelesaikan pengiraannya:

$$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!}=\frac{10068347520}{720}$$

Hasilnya ialah

$$\frac{10068347520}{720}=13983816$$

Jadi, terdapat 13 983 816 gabungan berbeza (hampir empat belas juta) yang boleh dipilih.

Kebarangkalian memenangi hadiah utama

Hadiah utama dimenangi apabila keenam-enam nombor yang dicabut diteka dengan betul. Oleh sebab terdapat 13 983 816 gabungan berbeza, peluang menang ialah 1 : 13 983 816, iaitu kebarangkaliannya

$$\frac{1}{13983816}\approx 0.0000000715$$

Dalam bentuk peratus, kita mendarab kebarangkalian ini dengan seratus, iaitu membuang dua sifar: 0.00000715%. Kebarangkalian ini sangat kecil. Sebagai gambaran, bayangkan sebuah negara yang berpenduduk sedikit melebihi sepuluh juta orang. Walaupun setiap penduduknya memilih satu gabungan nombor yang berbeza daripada orang lain, masih akan ada kira-kira tiga juta gabungan yang tidak dipilih oleh sesiapa, dan kebarangkalian bahawa tiada sesiapa pun yang menang ialah kira-kira satu per lima.

Cara meningkatkan peluang menang

Tidak ada cara. Hal ini mustahil, kecuali jika anda merasuah orang yang mencabut nombor. Setiap set enam nombor mempunyai peluang yang sama untuk dicabut. Set 1, 2, 3, 4, 5, 6 mempunyai peluang yang sama untuk dicabut seperti 5, 14, 15, 38, 41, 48. Kotak cabutan tidak membezakan antara jujukan nombor yang tersusun cantik seperti 1, 2, 3, 4, 5, 6 dengan jujukan nombor rawak seperti 5, 14, 15, 38, 41, 48. Hanya kita manusia yang lebih menyukai nombor berturutan. Kotak cabutan juga tidak mengingati nombor yang pernah dicabut. Fakta bahawa nombor 5, 14, 15, 38, 41, 48 dicabut minggu lepas tidak mempengaruhi kebarangkalian set yang sama dicabut sekali lagi minggu depan.

Pilihan nombor hanya mempengaruhi satu perkara, iaitu bilangan orang lain yang memilih nombor yang sama. Peluang menang tidak berubah kerana tidak kira sama ada satu set enam nombor dipilih oleh seorang atau seratus orang. Namun, jika hadiah dibahagikan antara semua pemenang, set nombor yang popular (contohnya nombor yang dicabut dalam cabutan sebelumnya) lebih mungkin perlu dikongsi dengan ramai orang, manakala set nombor yang benar-benar rawak jarang dipilih oleh orang lain.

Walau bagaimanapun, matematik memberikan nasihat yang paling jelas: pilihan yang paling bijak ialah tidak menyertai cabutan seperti ini sama sekali dan menggunakan wang itu untuk sesuatu yang lebih berfaedah.