Kebarangkalian menang Eurojackpot

Eurojackpot ialah cabutan nombor di Eropah yang disertai oleh beberapa buah negara. Dari sudut matematik, cabutan ini serupa dengan cabutan “6 daripada 49”, tetapi peraturannya sedikit lebih rumit.

Peraturan

Matlamatnya ialah meneka lima nombor yang dicabut daripada 50 nombor, serta meneka dua nombor tambahan yang dicabut daripada 12 nombor. Hadiah utama dimenangi jika ketujuh-tujuh nombor yang dicabut diteka dengan betul. Jika bilangan nombor yang diteka dengan betul lebih sedikit, terdapat hadiah bagi peringkat hadiah yang lebih rendah.

Kebarangkalian memenangi Eurojackpot

Berapakah peluang untuk menang? Kita mulakan dengan mengira bilangan semua gabungan yang mungkin dicabut. Kita tahu bahawa tiada nombor yang boleh dicabut dua kali dan susunan nombor dicabut tidak penting. Hal ini bermaksud kita tidak boleh menggunakan pilih atur, tetapi mesti menggunakan gabungan. Jadi, kita bertanya berapa banyak set lima nombor berbeza yang boleh dicabut daripada 50 nombor. Kita tulis dengan pekali binomial seperti berikut:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})$$

Rumus untuk mengira pekali binomial ini ialah:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

dengan tanda seru menandakan faktorial. Apabila nilai digantikan, kita memperoleh:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{5})=\frac{50!}{(50-5)!\cdot 5!}=\frac{50!}{45!\cdot 5!}$$

Dengan menggunakan sifat faktorial, kita tulis pengangka secara penuh:

$$\frac{50!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}$$

Kita lihat bahawa 45! terdapat dalam pengangka dan juga dalam penyebut. Jadi, kita boleh membatalkan 45! daripada pecahan itu:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5!}$$

Tulis 5! secara penuh:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45!}{45!\cdot 5!}=\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}$$

Darab semuanya:

$$\frac{50\cdot 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{254251200}{120}$$

Sekarang kita hanya perlu membahagi:

$$\frac{254251200}{120}=2118760$$

Jadi, terdapat 2 118 760 set lima nombor berbeza yang boleh dicabut daripada lima puluh nombor. Kebarangkalian bahawa kita meneka set lima nombor yang dicabut dengan tepat, yang kita tandakan sebagai P₁, ialah salingannya, iaitu

$$P_1=\frac{1}{2118760}$$

Sekarang kita perlu mengira berapa banyak pasangan berbeza yang boleh dicabut daripada 12 nombor supaya kita dapat mengira kebarangkalian meneka nombor tambahan juga. Sekali lagi kita boleh menulisnya sebagai pekali binomial:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})$$

Kali ini kita langkau langkah-langkahnya. Kita boleh menggunakan kalkulator pekali binomial dan dapati bahawa

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})=66$$

Jadi, terdapat 66 pasangan yang berbeza. Kebarangkalian kita meneka pasangan yang dicabut dengan betul, yang kita tandakan sebagai P₂, ialah

$$P_2=\frac{1}{66}$$

Kebarangkalian keseluruhan P untuk memenangi hadiah utama Eurojackpot diperoleh dengan mendarab kedua-dua kebarangkalian ini:

$$P=P_1\cdot P_2=\frac{1}{2118760}\cdot \frac{1}{66}=\frac{1}{139838160}$$

Peluang memenangi hadiah utama Eurojackpot ialah 1 berbanding 139 838 160. Sebagai gambaran, bayangkan sebuah negara yang berpenduduk sedikit melebihi sepuluh juta orang. Supaya pasti ada seorang pemenang dari negara itu, setiap penduduknya perlu membeli 13 tiket dengan gabungan nombor yang berbeza. Selepas cabutan, barulah pasti bahawa satu tiket dari negara itu ialah tiket yang menang.