Persamaan serentak

Dalam amalan, kita sering berhadapan dengan keadaan apabila kita tidak menyelesaikan satu persamaan sahaja, tetapi dua persamaan sekali gus (atau lebih). Mula-mula, kita akan lihat cara menyelesaikan persamaan serentak seperti ini dengan kaedah penggantian. Untuk menyelesaikan persamaan serentak menggunakan matriks, lihat artikel sistem persamaan linear.

Asas

Persamaan serentak terdiri daripada beberapa persamaan yang diselesaikan bersama-sama. Persamaan serentak lazimnya juga mengandungi lebih daripada satu pemboleh ubah, dan kita cuba mencari gabungan nombor yang, apabila digantikan untuk semua pemboleh ubah, memenuhi semua persamaan.

Contoh persamaan serentak ialah:

$\begin{array}{ccccc} a & + & b & = & 0 \\ 2 a & + & b & = & 10 \end{array}$

Penyelesaian persamaan serentak ini ialah pasangan nombor (atau set pasangan nombor) yang digantikan untuk pemboleh ubah a dan b supaya kedua-dua persamaan kekal benar. Dengan pemerhatian sahaja, kita dapat melihat bahawa pemboleh ubah a mesti sama dengan −b supaya persamaan a + b = 0 dipenuhi. Dengan pengetahuan ini, daripada persamaan kedua kita mudah melihat bahawa a = 10 dan b = −10. Selepas penggantian, kita memperoleh:

$\begin{array}{ccccc} 10 & - & 10 & = & 0 \\ 2 \cdot 10 & - & 10 & = & 10 \end{array}$

Baiklah, penyelesaian dengan pemerhatian sudah selesai. Sekarang kita lihat beberapa algoritma yang berkesan untuk menyelesaikan persamaan serentak.

Kaedah penggantian

Dalam kaedah penggantian, kita ungkapkan salah satu anu daripada satu persamaan, kemudian kita masukkan hasilnya ke dalam persamaan yang satu lagi. Jadi, mula-mula kita memerlukan persamaan serentak, misalnya yang ini:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Ini ialah persamaan serentak mudah yang terdiri daripada dua persamaan dalam dua pemboleh ubah. Tugas kita ialah menentukan pemboleh ubah x dan y supaya kedua-dua persamaan dipenuhi. Daripada persamaan pertama, kita ungkapkan y. Jadi, kita ambil persamaan pertama sahaja dan ungkapkan y.

$4 x + 2 y = 6$

Pertama, kita tolak 4x:

$2 y = 6 - 4 x$

Kita bahagikan dengan dua:

$y = 3 - 2 x$

Sekarang kita tahu nilai y. Hasil ini boleh digantikan untuk pemboleh ubah y dalam persamaan kedua. Jadi, dalam persamaan kedua kita tulis 3 − 2x sebagai ganti y. Apakah faedahnya? Persamaan kedua tidak lagi mengandungi dua pemboleh ubah, tetapi hanya satu, kerana pemboleh ubah y digantikan dengan ungkapan yang hanya mengandungi pemboleh ubah x. Jadi, kita gantikan:

$\begin{array}{lllll} 5 x & - & 3 y & = & 13 (gantikan y = 3 - 2 x) \\ 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \end{array}$

Sekarang kita hanya perlu mengembangkan kurungan dan menambahkan sebutan yang boleh ditambah:

$\begin{array}{rrrll} 5 x & - & 3 (3 - 2 x) & = & 13 \\ 5 x & - & (9 - 6 x) & = & 13 \\ 5 x & - & 9 + 6 x & = & 13 \\ 11 x - 9 & = & 13 \\ 11 x & = & 22 \\ x & = & 2 \end{array}$

Sekarang kita tahu nilai x, iaitu dua. Kita masih perlu mengira nilai y. Caranya ialah menggantikan nilai x yang sudah diketahui ke dalam mana-mana persamaan yang mengandungi kedua-dua pemboleh ubah, x dan y. Kita boleh memilih, misalnya, persamaan yang paling pertama. Kita gantikan seperti berikut:

$\begin{array}{rrcll} 4 x & + & 2 y & = & 6 (gantikan x = 2) \\ 4 \cdot 2 & + & 2 y & = & 6 \\ 2 y & = & 6 - 8 \\ 2 y & = & - 2 \\ y & = & - 1 \end{array}$

Dengan ini, kita telah menyelesaikan persamaan serentak itu. Persamaan serentak ini mempunyai satu penyelesaian sahaja, iaitu x = 2 dan y = −1. Jika anda mahu menyemak jawapan ini, gantikan sahaja nilai-nilai ini ke dalam kedua-dua persamaan. Penggantian ke dalam persamaan pertama:

$\begin{array}{rrrcl} 4 x & + & 2 y & = & 6 (gantikan x = 2, y = - 1) \\ 4 \cdot 2 & + & 2 \cdot (- 1) & = & 6 \\ 8 & - & 2 & = & 6 \\ 6 & = & 6 \end{array}$

Dan penggantian ke dalam persamaan kedua:

$\begin{array}{rrrcl} 5 x & - & 3 y & = & 13 (gantikan x = 2, y = - 1) \\ 5 \cdot 2 & - & 3 \cdot (- 1) & = & 13 \\ 10 & + & 3 & = & 13 \\ 13 & = & 13 \end{array}$

Kaedah penghapusan

Saya lebih suka kaedah ini, tetapi sudah tentu semuanya bergantung pada soalan. Kaedah ini tidak selalu sesuai. Prinsip kaedah penghapusan ialah bahawa penambahan persamaan merupakan operasi setara bagi persamaan serentak. Persamaan ditambahkan dengan menambahkan sebelah kiri satu persamaan dengan sebelah kiri persamaan yang lain, kemudian menambahkan sebelah kanan kedua-dua persamaan. Secara umum, katakan kita mempunyai persamaan serentak berikut:

$\begin{array}{rrrcl} f_{1} (x) & + & g_{1} (y) & = & a \\ f_{2} (x) & + & g_{2} (y) & = & b \end{array}$

Dengan menambahkan kedua-dua persamaan ini, kita memperoleh satu persamaan yang ditakrifkan seperti berikut:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) + g_{1} (y) + g_{2} (y) = a + b$

Kita menambahkan sebelah kiri secara berasingan dan sebelah kanan secara berasingan. Tetapi apakah matlamat kita? Jika kita menambahkan dua persamaan dan masih tinggal dua pemboleh ubah, hal itu tidak banyak membantu. Oleh itu, kita cuba memastikan bahawa selepas kedua-dua persamaan ditambahkan, satu pemboleh ubah hilang, iaitu sebutan-sebutannya saling membatalkan. Jadi, kita mahu hasil tambah salah satu pasangan fungsi, sama ada f atau g, menjadi sifar:

$f_{1} (x) + f_{2} (x) = 0 \lor g_{1} (y) + g_{2} (y) = 0$

Bagaimanakah kita mencapainya? Persamaan serentak terdiri daripada persamaan biasa, jadi kita boleh menggunakan operasi setara ke atas persamaan seperti yang kita kenali daripada jenis persamaan biasa. Oleh itu, kita boleh mendarab salah satu persamaan dengan suatu nombor tanpa mengubah kebenarannya. Mari kita cuba menyelesaikan persamaan serentak tadi dengan kaedah penghapusan. Soalannya sama:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 \end{array}$

Jika kita terus menambahkan persamaan-persamaan ini, kedua-dua pemboleh ubah akan kekal:

$4 x + 5 x \neq 0, 2 y - 3 y \neq 0$

Oleh itu, kita perlu melakukan beberapa operasi terlebih dahulu. Kita akan cuba “menghilangkan” pemboleh ubah y. Untuk itu, pekali y dalam kedua-dua persamaan mesti sama, kecuali tandanya, yang mesti bertentangan. Jadi, kita mencari gandaan sepunya terkecil, iaitu 6. Cara mudah ialah mendarab pekali-pekalinya: dua darab tiga ialah enam, jadi nombor enam pasti boleh dibahagi oleh kedua-dua nombor itu (nota: cara ini tidak menjamin GSTK, tetapi menghasilkan nombor yang boleh dibahagi oleh kedua-dua pekali).

Sekarang kita cuba mendapatkan enam di hadapan y dalam setiap persamaan. Jadi, kita darab persamaan pertama dengan tiga dan persamaan kedua dengan dua:

$\begin{array}{ccccc} 4 x & + & 2 y & = & 6 (darab dengan 3) \\ 5 x & - & 3 y & = & 13 (darab dengan 2) \end{array}$

Kita memperoleh:

$\begin{array}{ccccc} 12 x & + & 6 y & = & 18 \\ 10 x & - & 6 y & = & 26 \end{array}$

Sekarang kita tambahkan kedua-dua persamaan:

$\begin{array}{rcl} 12 x + 10 x + 6 y - 6 y & = & 18 + 26 \\ 22 x + 0 y & = & 44 \end{array}$

Kita memperoleh satu persamaan dalam satu anu, yang sudah mudah kita selesaikan:

$\begin{array}{rcl} 22 x + 0 y & = & 44 \\ 22 x & = & 44 \\ x & = & 2 \end{array}$

Hasilnya sama seperti dengan kaedah penggantian tadi. Sekarang kita hanya perlu menggantikan x ke dalam mana-mana persamaan sekali lagi untuk memperoleh y = −1. Semakan juga dilakukan dengan cara yang sama.

Bilangan penyelesaian

Persamaan serentak tidak semestinya mempunyai tepat satu penyelesaian. Persamaan serentak juga boleh mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya, atau sebaliknya, tiada penyelesaian langsung. Berikut penerangan ringkas tentang bila hal ini berlaku. Jika kita mempunyai dua persamaan dalam dua anu, dan salah satu persamaan boleh diperoleh daripada persamaan yang lain dengan operasi setara, maka persamaan serentak itu mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya. Contohnya, persamaan serentak

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ 2 x & + & 2 y & = & 4 \end{array}$

Jika kita mendarab persamaan pertama dengan dua, kita memperoleh persamaan kedua dengan tepat. Jadi, persamaan kedua tidak memberikan sebarang “maklumat baharu” tentang sistem ini, dan secara praktiknya tidak diperlukan. Akibatnya, setiap penyelesaian persamaan

$x + y = 2$

juga merupakan penyelesaian seluruh persamaan serentak. Contohnya, pasangan (1, 1) atau (−3, 5) ialah penyelesaian persamaan pertama dan juga penyelesaian seluruh persamaan serentak.

Persamaan serentak tiada penyelesaian langsung jika persamaan-persamaannya saling bercanggah dan tidak boleh benar serentak. Contohnya:

$\begin{array}{rrrcl} x & + & y & = & 2 \\ x & + & y & = & 4 \end{array}$

Hasil tambah x + y tidak mungkin sama dengan dua dan juga empat pada masa yang sama, jadi persamaan serentak ini tiada penyelesaian. Berikut beberapa contoh lagi:

Contoh pertama

Selesaikan persamaan serentak berikut dalam dua pemboleh ubah:

$\begin{array}{rrrcl} 7 x & + & 3 y & = & 21 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Sekali pandang, persamaan serentak ini sesuai diselesaikan dengan kaedah penghapusan. Pekali x dalam persamaan kedua ialah dua kali ganda pekalinya dalam persamaan pertama, dan pekali y dalam persamaan kedua pula tiga kali ganda. Jadi, cukup darab persamaan pertama dengan negatif dua atau negatif tiga, kemudian tambahkan kedua-dua persamaan. Kita cuba menghapuskan pemboleh ubah x, jadi kita darab persamaan pertama dengan −2. Kita memperoleh:

$\begin{array}{rrrcl} - 14 x & - & 6 y & = & - 42 \\ 14 x & + & 9 y & = & 0 \end{array}$

Kita tambahkan kedua-dua persamaan ini dan memperoleh

$\begin{array}{rcl} 14 x - 14 x + 9 y - 6 y & = & - 42 \\ 3 y & = & - 42 \\ y & = & - 14 \end{array}$

Kita sudah memperoleh nilai pertama. Nilai ini kita gantikan ke dalam salah satu persamaan; sekali lagi kita boleh menggunakan persamaan yang paling pertama:

$\begin{array}{rcl} 7 x + 3 y & = & 21 (gantikan y = - 14) \\ 7 x + 3 \cdot (- 14) & = & 21 \\ 7 x - 42 & = & 21 \\ 7 x & = & 63 \\ x & = & 9 \end{array}$

Jadi, penyelesaian persamaan serentak ini ialah x = 9 dan y = −14.

Contoh kedua

Selesaikan persamaan serentak berikut dalam dua pemboleh ubah:

$\begin{array}{rcl} (x + 4) (y - 2) & = & (x - 2) (y + 13) \\ (x - 1) (y - 3) & = & (x + 2) (y - 5) \end{array}$

Persamaan ini kelihatan agak menakutkan, tetapi boleh diselesaikan. Pertama sekali, kita mesti mengembangkan kurungan; tanpa langkah ini, kita tidak akan ke mana-mana.

$\begin{array}{rcl} x y - 2 x + 4 y - 8 & = & x y + 13 x - 2 y - 26 \\ x y - 3 x - y + 3 & = & x y - 5 x + 2 y - 10 \end{array}$

Sekarang kita ubah persamaan kepada bentuk yang lebih berguna: pemboleh ubah dipindahkan ke sebelah kiri persamaan dan sebutan pemalar ke sebelah kanan, kemudian kita permudahkan apa yang boleh.

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 2 x & - & 3 y & = & - 13 \end{array}$

Daripada persamaan yang kelihatan kurang menarik tadi, kini kita memperoleh persamaan serentak yang agak mudah, dan kita boleh menggunakan salah satu kaedah biasa. Misalnya, kita boleh mendarab persamaan kedua dengan dua dan menambahkannya kepada persamaan pertama. Selepas mendarab persamaan kedua dengan dua, kita memperoleh:

$\begin{array}{rrrcl} - 15 x & + & 6 y & = & - 18 \\ 4 x & - & 6 y & = & - 26 \end{array}$

Sekarang kita tambahkan kedua-dua persamaan dengan kaedah penghapusan biasa:

$\begin{array}{rcl} 4 x - 15 x + 6 y - 6 y & = & - 18 - 26 \\ - 11 x & = & - 44 \\ 11 x & = & 44 \\ x & = & 4 \end{array}$

Bagus, kita sudah mengetahui satu nilai. Nilai ini kita gantikan ke dalam salah satu persamaan untuk mengira y. Misalnya, kita gantikan ke dalam persamaan 2x− 3y = −13 dan memperoleh:

$\begin{array}{rcl} 2 x - 3 y & = & - 13 (gantikan x = 4) \\ 8 - 3 y & = & - 13 \\ - 3 y & = & - 21 \\ - y & = & - 7 \\ y & = & 7 \end{array}$

Sekarang kita mempunyai penyelesaian lengkap bagi persamaan serentak ini: penyelesaiannya ialah x = 4 dan y = 7.

« Artikel sebelumnya: Ketaksamaan trigonometri

Artikel seterusnya: Nombor »