✖

Algebraïsche getallen

Een getal dat een nulpunt is van een veelterm met gehele coëfficiënten, noemen we een algebraïsch getal. Wat betekent dat in de praktijk? We kunnen elk getal nemen en er een wiskundig spelletje mee spelen. Het doel van het spel is om een getal x te nemen en tot nul terug te brengen. Daarbij mogen we alleen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en machten nemen, en voor onze bewerkingen mogen we alleen gehele getallen gebruiken. Met voorbeelden wordt het duidelijker.

We beginnen met het getal 42. Hoe maken we daar nul van? We kunnen het gehele getal 42 ervan aftrekken en we krijgen nul (vermenigvuldigen met nul is niet toegestaan):

42−42=0

Omdat het ons gelukt is om het getal 42 tot nul terug te brengen, is 42 een algebraïsch getal. Dat was vrij triviaal. Hoe zit het met een breuk, bijvoorbeeld 73? Omdat we alleen met gehele getallen mogen werken, kunnen we niet 73 van deze breuk aftrekken om nul te krijgen. We moeten het anders aanpakken. Eerst vermenigvuldigen we de breuk met drie:

3⋅73=3⋅73=7

We hebben een geheel getal gekregen, en dat kunnen we al tot nul terugbrengen: trek zeven af. We kunnen dus schrijven

3⋅73−7=0

en we kunnen zeggen dat de breuk zeven derde ook een algebraïsch getal is. We nemen nog een ingewikkelder getal, de wortel uit twee: 2. Optellen of vermenigvuldigen helpt hier niet, we moeten eerst van de wortel afkomen. We kwadrateren de uitdrukking:

(2)2=2

We hebben een geheel getal gekregen dat we tot nul kunnen terugbrengen: trek twee af:

(2)2−2=0

Ook de wortel uit twee, een irrationaal getal, is dus een algebraïsch getal. Tot nu toe lijkt het alsof elk getal dat we proberen algebraïsch is. Hoe zit het met bijvoorbeeld het getal van Euler e? Dat is ook irrationaal, het heeft dus een oneindige decimale ontwikkeling zonder herhaling, net als de wortel uit twee. De benaderde waarde is 2,71. Anders dan bij de wortel uit twee bestaat er echter geen manier om het met de bewerkingen die we hebben toegestaan tot nul terug te brengen. Of we het getal van Euler nu ergens bij optellen, ermee vermenigvuldigen of tot een macht verheffen, we krijgen steeds weer een ander irrationaal getal. Het getal van Euler is daarom geen algebraïsch getal, hoera!

Ook het getal pi (3,14) is niet algebraïsch.

Getallen die niet algebraïsch zijn, noemen we transcendent.

De precieze definitie

Voor elk algebraïsch getal moet er dus een polynoom (veelterm) met gehele coëfficiënten bestaan waarvan dit algebraïsche getal een nulpunt is. Een nulpunt van een polynoom is een getal waarvoor de polynoom nul is. Als we terugkeren naar de voorbeelden hierboven, dan krijgen we voor het getal 42 de vergelijking

x−42=0

en omdat het nulpunt van de veelterm x − 42 precies x = 42 is, betekent dat dat 42 een algebraïsch getal is. Voor het rationale getal 73 zou het de vergelijking

3x−7=0

zijn, want het nulpunt van de veelterm 3x − 7 is precies x=73. En voor de wortel uit twee krijgen we ten slotte

x2−2=0

want het nulpunt van de polynoom x2 − 2 is precies de wortel uit twee. Voor het getal van Euler of voor pi kunnen we zo'n vergelijking of polynoom niet opstellen, want dat zijn transcendente getallen en dus geen algebraïsche getallen.

Voorbeelden van algebraïsche getallen

  • Elk geheel getal is ook algebraïsch.
  • Elk rationaal getal (breuk) is algebraïsch.
  • Bij irrationale getallen wordt het ingewikkelder. Zoals we zagen, zijn sommige irrationale getallen algebraïsch, zoals de wortel uit twee, en andere niet, zoals het getal van Euler.
  • Elke n-demachtswortel van een geheel getal is algebraïsch.
  • De gulden snede is een algebraïsch getal.