Waar komt het getal e vandaan

Het getal van Euler is een van de bekendste wiskundige constanten, samen met bijvoorbeeld het getal pi — π. We vertellen hoe we op dit getal gekomen zijn en wat het betekent.

In de zeventiende eeuw was de Zwitserse wiskundige Jacob Bernoulli geïnteresseerd in rente op rente. Stel dat we één euro hebben en die op een bank zetten die ons 100% rente per jaar biedt. Dat is natuurlijk compleet gek van een bank, maar wat doe je niet voor de wiskunde. Hoeveel geld hebben we na precies een jaar op de rekening? Nou, twee euro.

Hoe zou de situatie veranderen als de bank ons 50% rente zou bieden, die elk half jaar wordt bijgeschreven? Zou dat gunstiger voor ons zijn of minder gunstig?

Na het eerste halfjaar hebben we de helft meer. “De helft meer” schrijven we in de wiskunde als $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. Voor x vullen we onze inleg in, dus één euro, en we rekenen uit

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

Na een half jaar staat er € 1,50 op de rekening. Na het tweede halfjaar hebben we weer de helft meer. We gebruiken dezelfde formule en vullen voor x ons nieuwe saldo in, dus 1,5:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Na een jaar staat er dus € 2,25 op de rekening. Vaker rente bijschrijven tegen een lager rentepercentage is voor ons dus gunstig.

Maandelijkse rentebijschrijving

Wat als de bank elke maand rente zou bijschrijven, maar de rente zou dalen tot een twaalfde van de oorspronkelijke rente? Oef, dat is wel wat rekenwerk. Welk saldo hebben we na de eerste maand? We hebben “een twaalfde meer”, wat we schrijven als $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. Na de eerste maand hebben we dus:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

Na de tweede maand hebben we

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Maar let op: in plaats van het getal 1,0833333 kunnen we ook $1\cdot (1+\frac{1}{12})$ gebruiken, want we weten dat deze getallen gelijk zijn:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Na de derde maand staat er op de rekening:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Zoals je ziet, volgt onze berekening een bepaald patroon. De uitdrukking tussen haakjes komt er zo vaak in voor als het aantal maanden dat we uitrekenen. De vorige uitdrukking kunnen we vereenvoudigen door in plaats van drie dezelfde haakjes er één te schrijven en die tot de derde macht te verheffen:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

En het vermenigvuldigen met één aan het begin is ook overbodig, dus dat laten we weg:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Als we nu het saldo na twaalf maanden willen berekenen, gebruiken we in de exponent in plaats van de drie het getal 12:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

Na twaalf maanden hebben we dus ongeveer € 2,61 op de rekening. Dat is niet slecht! En het is veel beter dan toen we 100% rente per jaar kregen.

Continue rente

We hoeven niet bij maanden te stoppen. Hoeveel zouden we hebben als we elke week rente bijschrijven, ter grootte van $\frac{1}{52}$ van de oorspronkelijke rente? Omdat we de formule al kennen, vullen we alleen in:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

Dagelijkse rente?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Elk uur rente? (Een jaar heeft 8760 uur)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

We zien dat we aan het eind een beetje meer geld op de rekening hebben als we een lagere rente nemen en die vaker bijschrijven. Maar de toename wordt steeds kleiner. Zo zouden we eindeloos door kunnen gaan. En dat is eigenlijk geen slecht idee — we zouden elke minuut rente kunnen bijschrijven, elke seconde, elke milliseconde, elke nanoseconde… tot we op het punt komen dat we voortdurend rente bijschrijven. We zouden dan een continue, piepkleine rente hebben, waarmee we het saldo op elk moment verhogen. Hoeveel geld zouden we in dat geval na een jaar op de rekening hebben?

Terug naar het getal van Euler

Dat is de vraag die Jacob Bernoulli probeerde te beantwoorden. Helaas lukte hem dat niet, en pas in de 18e eeuw lukte het de beroemde wiskundige Leonhard Euler. Hij berekende dat we na een jaar

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

euro op de rekening zouden hebben. Je ziet dat dat niet veel meer is dan toen we elk uur rente bijschreven. En omdat dit saldo, dit getal, in allerlei onderdelen van de wiskunde heel belangrijk bleek te zijn, heet het tot op de dag van vandaag het getal van Euler en schrijven we het met de letter e. Het getal van Euler is een irrationaal getal, dus een getal met een oneindige niet-repeterende decimale ontwikkeling. Net als bijvoorbeeld het getal π. Je zult het dus nooit helemaal zien. Toch kunnen we het getal van Euler precies definiëren met een limiet van een functie:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Bronnen en links

• Een perfecte aflevering van het Engelse kanaal Numberphile over het getal van Euler.
• Hoe bereken je de rente bij een hypotheek