Oneindig

Oneindig is een abstract begrip dat je je in feite niet eens kunt voorstellen. Het oneindige zelf heeft geen einde, en daar komt ook de naam vandaan, maar het algemene oneindige heeft ook geen begin (we kunnen het wel nader specificeren: een halve lijn is bijvoorbeeld ook oneindig, maar heeft een beginpunt). Oneindig wordt meestal geschreven met de zogenaamde “liggende acht”: ∞.

We rekenen met oneindig

Oneindig lijkt voor een deel op nul: ook nul is in veel opzichten bijzonder en daarvoor gelden bijzondere regels. Je kunt bijvoorbeeld niet door nul delen, dat weet waarschijnlijk elk klein kind (ken je trouwens deze grap? Wat is de beste smoes als je je huiswerk wiskunde niet hebt? “Mevrouw, ik ben per ongeluk door nul gaan delen en mijn schrift is in vlammen opgegaan…” ;o)).

Net zoals alles keer nul nul is, geldt ook dat alles keer oneindig of alles plus oneindig oneindig is. Als je van oneindig een willekeurig groot getal aftrekt, houd je altijd oneindig over. Hetzelfde geldt als je oneindig probeert te delen. Oneindig is gewoon zo groot dat je er, ook al trek je er elke seconde miljoenen van af, altijd oneindig aan overhoudt. Soms is dat wat lastig te begrijpen, neem bijvoorbeeld deze vergelijking: ∞ + 1 = ∞. Klopt dit of niet?

De logica zegt ons dat de linkerkant groter is: als ik bij oneindig één optel, moet de hele uitdrukking toch groter zijn dan alleen oneindig. Niet dus :-). Zoals ik al zei: oneindig plus iets is oneindig. Oneindig plus één is dus oneindig en oneindig is gelijk aan oneindig. De vergelijking klopt.

Er is ook een andere weg, via limieten. Neem nu de breuk 1/x en bereken de rechterlimiet voor x→0⁺, en neem aan dat ons schrift niet is verbrand. Zo'n limiet zou gelijk zijn aan oneindig. Als je bij deze uitdrukking één optelt, heb je de uitdrukking (1+x)/x en de limiet voor x→0⁺ zou weer oneindig zijn.

De pret begint als we meer oneindigheden gaan combineren. Waaraan is bijvoorbeeld de uitdrukking oneindig min oneindig gelijk? De logica zegt ons dat we twee even grote getallen van elkaar aftrekken, dus de uitkomst zal nul zijn. Ik heb ook gezegd dat als we van oneindig een willekeurig getal aftrekken, de uitkomst weer oneindig is. Omgekeerd, als we van een willekeurig getal oneindig aftrekken, krijgen we min oneindig. Hoe komen we hier nu uit? Alle uitkomsten zijn in theorie mogelijk. De wiskunde zegt dat de uitdrukking ∞ −∞ aan niets bepaalds gelijk is: het is een ongedefinieerde of onbepaalde vorm. Het is vergelijkbaar met proberen door nul te delen: het heeft gewoon geen zin. Als je zo'n onbepaalde vorm tegenkomt, moet je de uitdrukking op de een of andere manier herleiden (bij sommige soorten onbepaalde vormen kun je bijvoorbeeld de regel van L'Hôpital gebruiken [uitgesproken als “lopitaal”]).

Andere ongedefinieerde of onbepaalde vormen:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

Overigens gelden wel de basisregels voor tekens, bijvoorbeeld −1 · ∞ is gelijk aan min oneindig.

Wil je gek worden?

Duik dan in de verzamelingenleer en reken uit welke verzameling groter is. Is bijvoorbeeld de verzameling van de even getallen groter of die van de oneven getallen? Die van de even getallen of die van de natuurlijke getallen? Die van de natuurlijke getallen of die van de gehele getallen? Even getallen of gehele getallen? Natuurlijke getallen of rationale getallen? Het antwoord is dat ze allemaal even groot zijn. Hoe vreemd het ook lijkt (er moeten toch meer gehele getallen zijn dan oneven getallen), het zijn even grote verzamelingen. De verzameling van de reële getallen is daarentegen groter dan de genoemde verzamelingen. Wie wordt hier nu wijs uit ;-)