✖

Kwadraat afsplitsen

Met de methode van het kwadraat afsplitsen kunnen we de kwadratische functie ax2 + bx + c schrijven in de vorm (x + m)2 + n.

Het algoritme voor het kwadraat afsplitsen

Het algoritme maakt gebruik van de bekende formule voor het kwadraat van een som:

(a+b)2=a2+2ab+b2

De werkwijze is als volgt. We gaan er eerst van uit dat a = 1. Stel dat we de kwadratische functie f(x) = x2 + 6x + 1 hebben en die willen omwerken tot de vorm (x + m)2 + n. Eerst bepalen we de waarden in het eerste haakje: (x + m)2. Welk getal moeten we voor m invullen? Volgens de formule moet gelden (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. In de functie f hebben we x2, dat klopt. Maar op de plaats van de lineaire term staat 6x. Welke waarde moeten we voor m kiezen, zodat 6x = 2mx geldt? Duidelijk moet gelden m = b/2 = 6/2 = 3. Voor het getal m vullen we dus altijd de helft van het getal b uit de kwadratische functie in.

Zo hebben we de vorm (x + 3)2 + n gekregen. Nu moeten we nog het getal n bepalen. We weten al dat (x + m)2 = x2 + 2mx + m2 geldt. Het deel x2 + 2mx is wat we willen, maar de uitdrukking m2 is te veel: in de functie f staat daar niets tegenover. Daarom trekken we m2 van het huidige resultaat af. Zo krijgen we de vorm (x + m)2 − m2, en na het haakjes uitwerken is dat gelijk aan x2 + 2mx + m2 − m2. Na het aftrekken houden we alleen x2 + 2mx over.

In de functie f hebben we echter ook nog de constante term c. Die tellen we er gewoon bij op. Zo krijgen we de vorm (x + m)2 − m2 + c, na het haakjes uitwerken x2 + 2mx + m2 − m2 + c en na vereenvoudigen x2 + 2mx + c. Omdat m = b/2, is deze uitdrukking gelijk aan x2 + bx + c. Na het haakjes uitwerken van (x + m)2 − m2 + c krijgen we dus de oorspronkelijke functie terug: we hebben goed gerekend. (Ik herhaal dat a = 1, dus er ontbreekt niets.)

Voor onze voorbeeldfunctie f krijgen we zo de kwadraatvorm (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8. We kunnen proberen die weer uit te werken:

(x+3)2−8=x2+6x+9−8=x2+6x+1

De methode van het kwadraat afsplitsen gebruik je bijvoorbeeld als je de grafiek van een kwadratische functie wilt tekenen.

Als a ≠ 1

Als we een functie hebben waarvoor niet geldt dat a = 1, dan brengen we het getal a buiten haakjes en gaan we verder zoals we al kunnen. Een voorbeeld:

2x2+16x−12=0

We brengen de twee buiten haakjes:

2⋅(x2+8x−6)=0

De functie binnen het haakje kunnen we al omwerken tot een kwadraat.

x2+8x−6=(x+4)2−16−6=(x+4)2−22

Dit resultaat vullen we in de vorige vergelijking in, en we krijgen:

2⋅(x2+8x−6)=2((x+4)2−22)=2(x+4)2−44