Priemgetallen
Priemgetallen zijn getallen die alleen deelbaar zijn door één en door zichzelf. De eigenschappen van priemgetallen worden vaak gebruikt, bijvoorbeeld in de cryptografie.
Definitie en voorbeelden
Een priemgetal is een natuurlijk getal dat zonder rest alleen deelbaar is door één en door zichzelf, waarbij de één zelf geen priemgetal is. Het kleinste priemgetal is de twee: die is zonder rest deelbaar door één en door twee. Het is tegelijk het enige priemgetal dat even is. Alle andere priemgetallen zijn oneven, want elk ander even getal is behalve door één en door zichzelf ook nog door twee deelbaar.
De eerste priemgetallen op een rij: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271…
Met priemgetallen heeft de hoofdstelling van de rekenkunde te maken, die zegt dat je elk geheel getal groter dan 1 kunt ontbinden in een product van priemgetallen.
Test of een getal een priemgetal is
Eigenschappen van priemgetallen
- Er zijn oneindig veel priemgetallen. Het bewijs staat in het artikel over het bewijs uit het ongerijmde.
- Voor elk geheel getal z>1 geldt dat er in het interval ⟨z, 2z⟩ minstens één priemgetal ligt. Een voorbeeld: voor z = 2 hebben we het interval ⟨2, 4⟩. Het enige gehele getal in dit interval is de drie, en dat is een priemgetal. Voor z = 5 krijgen we het interval ⟨5, 10⟩, dus de getallen 6, 7, 8, 9. Het getal 7 is een priemgetal. Zo gaat het ook voor grotere z.
- Een mersennepriemgetal is een priemgetal dat één kleiner is dan een of andere gehele macht van twee. Een mersennepriemgetal M heeft dus de vorm M = 2z − 1, waarbij z een natuurlijk getal is. Een voorbeeld is het priemgetal 3, want er geldt 22 − 1 = 3. Of 7, want er geldt 23 − 1 = 7.
- De grootste bekende priemgetallen zijn meestal juist mersennepriemgetallen. Zo werd op 23 augustus 2008 het mersennepriemgetal M43112609 gevonden, waarbij de index de exponent z aangeeft. Het gaat dus om het priemgetal 243112609 − 1, dat 12 978 189 cijfers heeft en destijds het grootste bekende priemgetal was.
Een rij zonder priemgetallen
Je kunt een willekeurig lange eindige rij opeenvolgende natuurlijke getallen vinden waarin geen enkel priemgetal voorkomt. Zo'n rij kan de vorm k!+2, k!+3, …, k!+k hebben en bevat k − 1 opeenvolgende samengestelde getallen (het uitroepteken is de faculteit).
Voor k = 6 krijgen we bijvoorbeeld vijf opeenvolgende samengestelde getallen van de vorm: 720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6. Deze getallen zijn achtereenvolgens deelbaar door twee, drie, vier, vijf en zes, want het getal 6! = 720 is zeker deelbaar door al deze getallen, omdat het hun product is: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2. Als het getal 720 deelbaar is door drie, dan moet ook het getal 720 + 3 deelbaar zijn door drie. Voor de andere getallen geldt hetzelfde.
De kleine stelling van Fermat
Voor elk priemgetal p en elk geheel getal z geldt dat het getal zp − z deelbaar is door het priemgetal p.
Een voorbeeld: neem het priemgetal p = 3 en het gehele getal z = 4. We berekenen de waarde van het getal 43 − 4. Dat is gelijk aan 60. Er geldt echter dat 60/3 = 20, dus het getal drie deelt de zestig zonder rest, in overeenstemming met de stelling van Fermat. Een ander voorbeeld: p = 7, z = 10. We berekenen de tussenuitkomst 107 − 10 = 9999990 en delen dit getal door zeven: 9999990/7 = 1428570. Ook nu hebben we een uitkomst zonder rest gekregen.
Onopgeloste vragen
Er zijn veel bekende vermoedens over priemgetallen die nog niet bewezen of weerlegd zijn. Twee van de bekendste zijn:
- Oneindig veel priemtweelingen: een priemtweeling is een paar getallen (z, z + 2) waarbij beide getallen priemgetallen zijn. Bijvoorbeeld (3, 5) of (29, 31). De vraag is of er oneindig veel van deze priemtweelingen zijn. Men veronderstelt van wel, maar het bewijs ontbreekt.
- De Riemannhypothese: alle niet-triviale nulpunten van de zètafunctie van Riemann hebben een reëel deel gelijk aan
