Interval

Intervallen worden in de wiskunde veel gebruikt en komen in allerlei definities voor. Een interval is een verzameling punten die wordt begrensd door twee eindpunten. Verder onderscheiden we open en gesloten intervallen.

Basisbeschrijving

We gebruiken intervallen ook in gewone taal, bijvoorbeeld: “voor een verkeerde oogkleur kun je van de Europese Unie een boete krijgen tussen € 1000 en € 2000”. In dit voorbeeld staat het woord “tussen”, maar wiskundig gezien gaat het om een interval. Nu komen er lastige vragen: kun je een boete krijgen van precies duizend euro, of telt het eindpunt niet mee? Hoe nauwkeurig kan de boete worden vastgesteld? Kan het een boete van € 1854,97 zijn? Of kan het alleen in stappen van honderd euro, dus € 1800 of € 1900?

Dat alles regelt de wiskundige notatie. Daarbij moeten we twee belangrijke dingen zeggen: in welke verzameling we werken (in het voorbeeld: honderden? Duizenden? Hele euro's?) en of de eindpunten bij het interval horen (kan de boete precies duizend of tweeduizend euro zijn?).

Het goede nieuws is dat we in de overgrote meerderheid van de gevallen in de wiskunde willen dat het interval werkt met de verzameling van de reële getallen. Als je dus een interval tegenkomt zonder dat de verzameling wordt genoemd, gaat het zeker om reële getallen.

De uitgangsverzameling hebben we nu, maar hoe geven we aan of we de eindpunten meenemen? Intervallen schrijven we op met haakjes. Een vierkant haakje, [ of ], betekent dat het eindpunt bij het interval hoort. Een open eindpunt, dat niet bij het interval hoort, schrijven we met een punthaak, ⟨ of ⟩. Dat noemen we openheid en geslotenheid. Als een eindpunt bij het interval hoort, is het interval aan die kant gesloten, als het er niet bij hoort, is het open. (Je ziet open intervallen in sommige boeken ook met ronde haakjes of omgekeerde vierkante haakjes geschreven. Wij gebruiken de punthaken, omdat ronde haakjes verward kunnen worden met de coördinaten van een punt.)

Voorbeelden

Hieronder staan voorbeelden (allemaal in de verzameling van de reële getallen, tenzij anders vermeld):

• [1, 2]   Gesloten interval van één tot twee. Tot het interval horen alle reële getallen tussen de één en de twee, inclusief de één en de twee.
• ⟨1, 2⟩   Open interval van één tot twee. Tot het interval horen alle reële getallen tussen de één en de twee, maar de getallen één en twee zelf horen er niet bij.
• [0, 1⟩   Het interval is links gesloten en rechts open. Tot het interval horen alle getallen tussen nul en één, inclusief nul zelf, maar de één hoort niet bij het interval.
• ⟨p, q]   Het interval is links open en rechts gesloten. Tot het interval horen alle getallen tussen de getallen p en q, inclusief het getal q, maar zonder het getal p.
• [0, → ⟩   Links gesloten en rechts open interval. Als er oneindig in het interval voorkomt (weergegeven met een pijl), gebruik je aan die kant een open eindpunt: oneindig heeft geen eindig eindpunt, een gesloten eindpunt heeft daar geen zin.
• [1, 5] ⊂ ℕ   Hier volgt een verandering: we werken niet met de verzameling van de reële getallen, maar met de verzameling van de natuurlijke getallen. We hebben een aan beide kanten gesloten interval en in dat interval zitten dus in totaal vijf getallen: 1, 2, 3, 4 en 5.
• ⟨1, 5] ⊂ ℕ   Hetzelfde geval als zojuist, alleen is het interval links open, dus de één hoort niet bij het interval en alle elementen van het interval zijn: 2, 3, 4 en 5.

Een interval als verzameling

Zoals je ziet is een interval niets anders dan een deelverzameling van de verzameling waarop het is gedefinieerd. Daarom kunnen we met intervallen werken als met verzamelingen en er bewerkingen met verzamelingen op uitvoeren. De vereniging zou er bijvoorbeeld zo uit kunnen zien:

$$[0,5]\cup [5,10]=[0,10]$$

Pas op bij open intervallen: daar zou deze gelijkheid niet gelden, want de vijf hoort niet bij het resulterende interval:

$$⟨0,5⟩\cup ⟨5,10⟩\ne ⟨0,10⟩$$

Correct zou het er bijvoorbeeld zo uit kunnen zien:

$$⟨0,5⟩\cup ⟨5,10⟩=⟨0,10⟩-\{5\}$$

Wanneer gebruik je een open interval

Het verschil tussen een open en een gesloten interval moet je goed begrijpen. Een veelvoorkomende toepassing van een open interval is bijvoorbeeld het domein van de logaritme. De logaritme kunnen we gebruiken met elk positief reëel getal, wat betekent dat we hem niet kunnen aanroepen met een negatief getal, maar ook niet met nul. Hoe schrijven we dat op?

$$D_{\ln }=⟨0,\to ⟩$$

Deze notatie zegt dat we de logaritme kunnen aanroepen met een willekeurig klein positief getal, maar niet met nul. Het getal 1 valt dus in het interval, het getal 0,001 ook, net als het getal 0,0000000001 of 10⁻⁶⁶⁶. Maar nul valt niet meer in het interval. Op dezelfde manier kunnen we het domein opschrijven van een functie met een breuk, bijvoorbeeld de gewone f(x) = 1/x.

$$D_f=⟨\leftarrow ,0⟩\cup ⟨0,\to ⟩$$

Dat geeft ons de verzameling van de reële getallen zonder nul. In geen van beide intervallen staat nul op de plaats van een gesloten eindpunt, daarom zit nul ook niet in de vereniging. We kunnen wel een willekeurig klein positief getal gebruiken of een willekeurig groot negatief getal (bij negatieve getallen geldt dat -0,001 groter is dan -0,1, daarom spreken we van een willekeurig groot getal en niet van een willekeurig klein getal).

Meetkundige weergave

Intervallen geven we meestal op de getallenlijn weer als lijnstukken, en de eindpunten kiezen we naargelang het interval gesloten of open is. Als het interval gesloten is, is het rondje dat het punt weergeeft gekleurd, als het open is, is het niet gekleurd: dan is het alleen een omtrek, alleen een cirkel.

De volgende figuur toont de weergave van drie intervallen, steeds van twee tot zes, maar die verschillen in de geslotenheid van de uiteinden. Van boven naar beneden zijn dus deze intervallen weergegeven: [2, 6], ⟨2, 6], ⟨2, 6⟩.