Rationale getallen
Rationale getallen zijn alle getallen die je kunt schrijven als quotiënt van twee gehele getallen, dus in de vorm van een breuk.
Definitie
Rationale getallen zijn dus alle getallen die je kunt schrijven in de vorm
De voorwaarde dat beide getallen geheel zijn, heeft een duidelijke reden. Als je een getal kiest dat niet rationaal is, bijvoorbeeld π, en je maakt er zo'n breuk van:
dan krijg je weer het getal π terug, en dat is niet rationaal. Daarom moeten zowel de teller als de noemer geheel zijn. En omdat we niet door nul mogen delen, moet de noemer ongelijk zijn aan nul.
We kunnen ook zeggen dat rationale getallen getallen zijn met een eindige decimale ontwikkeling, en getallen met een oneindige decimale ontwikkeling waarin een deel zich periodiek herhaalt. Eerst een paar voorbeelden van rationale getallen in de vorm van een breuk:
en daarna getallen in de vorm van een decimaal getal: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…=
Repeterende decimalen
In het vorige voorbeeld kwam het getal 0,3333… voor. Dat is de decimale schrijfwijze van de breuk 1/3 en het is een getal met een oneindige decimale ontwikkeling. Toch is het rationaal, want de ontwikkeling is repeterend. Repeterend betekent dat vanaf een bepaald punt steeds dezelfde groep cijfers terugkomt. In ons geval herhaalde de drie zich eindeloos. Maar ook de groep cijfers 12345 kan zich eindeloos herhalen, en dat blijft een getal met een repeterend deel, een rationaal getal.
Elk getal met een eindige decimale ontwikkeling is dus rationaal. Elk getal met een oneindige decimale ontwikkeling waarin een deel zich periodiek herhaalt, is ook rationaal. Een getal met een oneindige decimale ontwikkeling waarin niets zich periodiek herhaalt, is een irrationaal getal.
De periode geven we aan met drie puntjes of, vaker, met een streep boven de cijfers die zich herhalen. Er kan zich één cijfer herhalen, maar ook een groep van meer cijfers. De periode kan meteen na de komma beginnen of pas later. Dit zijn allemaal repeterende getallen:
Notatie en betekenis
De rationale getallen schrijven we met de letter Q met dubbele bogen: ℚ. Dat komt van het Engelse “quotient”, het quotiënt, dat is de uitkomst van een deling.
Rationale getallen gebruiken we om een deel van een geheel aan te geven. Denk aan “de helft” of “een tiende”. Dat zijn aanduidingen van een deel van een geheel, die we als rationaal getal kunnen schrijven als quotiënt 1/2 en 1/10. De noemer geeft dan het geheel aan en de teller het deel van het geheel. Als de teller gelijk is aan de noemer, hebben we het hele geheel. Zulke aantallen rekenen we meestal om naar procenten.
Eigenschappen
- De rationale getallen vormen een oneindige aftelbare verzameling.
- De rationale getallen zijn afgesloten onder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Dat betekent dat we weer een rationaal getal krijgen als we twee rationale getallen delen. Dat is een verschil met de gehele getallen, die niet afgesloten waren onder delen.
- De rationale getallen bevatten alle gehele getallen. Als alle rationale getallen als breuk a/b te schrijven zijn, dan hoeft alleen maar b = 1 te zijn en we krijgen na deling a/1 = a altijd de waarde van de teller terug.
- Als we twee rationale getallen a en b nemen waarvoor a < b geldt, dan vinden we altijd nog een rationaal getal q waarvoor geldt: a < q < b. Anders gezegd: tussen twee willekeurige rationale getallen kunnen we altijd nog een ander rationaal getal vinden. Er geldt zelfs een sterkere versie: tussen twee willekeurige rationale getallen liggen oneindig veel andere rationale getallen.
- Een gevolg hiervan is dat er geen kleinste positieve (of grootste negatieve) rationale getal bestaat. Dat kunnen we aantonen met een bewijs uit het ongerijmde. Stel dat m het kleinste positieve rationale getal is. Dan zouden we geen kleiner positief rationaal getal kunnen vinden. Volgens de vorige eigenschap geldt echter 0 < m, en dus bestaat er een rationaal getal s waarvoor 0 < s < m. We hebben een getal s gevonden dat groter is dan nul (dus positief) en kleiner dan m. Dat is in tegenspraak met de aanname dat m het kleinste positieve rationale getal is.
Bewerkingen met rationale getallen
Alle gewone basisbewerkingen worden beschreven in het artikel over breuken.
Een repeterend getal omzetten naar een breuk
Omdat een repeterend getal ook een rationaal getal is, moet het zich laten omzetten naar een breuk. We laten zien hoe dat gaat. We beginnen met het repeterende getal a = 0,333… We schrijven
Nu gebruiken we de gewone equivalente bewerkingen bij vergelijkingen en vermenigvuldigen de hele vergelijking met tien:
Aan de rechterkant is een drie naar de eenheden verschoven, en achter de komma staan nog steeds oneindig veel drieën. Nu trekken we a van de vergelijking af, dus we trekken 0,333… af, en daarmee verdwijnt de oneindige ontwikkeling.
Deze stap was misschien wat ingewikkeld, dus ik schrijf hem even uit. We hebben deze bewerking uitgevoerd:
De bovenste vergelijking 9a = 3 delen we door negen en we krijgen het resultaat:
We proberen nog een voorbeeld:
De aanpak is iets anders. In het vorige voorbeeld had de periode lengte één. Eigenlijk mocht de periode zo lang zijn als we wilden, want steeds herhaalden dezelfde cijfers zich, maar het kwam goed uit dat ze lengte één had. Nu hebben we een periode van lengte twee. We zouden ook een periode van lengte zes kunnen nemen, maar dat komt niet goed uit. Om echt een hele periode af te trekken, moeten we nu met honderd vermenigvuldigen:
We trekken één keer a af:
En delen door 99:
Als je deze getallen op je rekenmachine deelt, krijg je precies 1,454545… De meeste rekenmachines ronden echter af, dus je ziet misschien een iets ander resultaat.
Een opvallend resultaat: 0,9999…
Voor de grap zetten we nog het repeterende getal
om naar een breuk. We vermenigvuldigen met tien:
We trekken a af:
We delen door negen:
We zien dat we een één krijgen, dus het getal 0,999… is gelijk aan het getal 1.
