Complexe getallen

Complexe getallen zijn een uitbreiding van de reële getallen. Bij de reële getallen kunnen we de meeste klassieke bewerkingen uitvoeren, zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (behalve door nul). Ook kunnen we wortels trekken, maar alleen uit niet-negatieve getallen. Dat is een gat, bijvoorbeeld als we een kwadratische vergelijking oplossen en de discriminant negatief blijkt. Complexe getallen dichten dat gat.

Wat is een complex getal

Complexe getallen verschillen van gewone getallen vooral doordat ze twee delen hebben: een reëel en een imaginair deel. Een complex getal is een geordend paar getallen (x, y), waarbij het getal x het reële deel is en het getal y het imaginaire deel. Als het reële deel nul is, noemen we het een zuiver imaginair complex getal. De getallen x en y zelf zijn reëel.

De verzameling van de complexe getallen schrijven we met de hoofdletter C: ℂ.

Gelijkheid van complexe getallen: anders dan gewone getallen hebben complexe getallen twee componenten. Als twee complexe getallen gelijk moeten zijn, moeten ze dus in beide componenten gelijk zijn. Deze complexe getallen zijn daarom onderling verschillend: (2, 3) ≠ (0, 3) ≠ (2, 0). De complexe getallen z₁ = (1, 2) en z₂ = (1, 2) zijn gelijk: z₁ = z₂.

Standaardvorm en imaginaire eenheid

Complexe getallen schrijven we vaker in de standaardvorm, die er zo uitziet. Het complexe getal (x, y) heeft de standaardvorm x + yi, waarbij i de imaginaire eenheid heet. Voor het kwadraat van de imaginaire eenheid geldt een heel belangrijke betrekking:

$$i^2=-1$$

Deze vergelijking gebruiken we straks vaak, samen met andere machten. Hogere machten kunnen we namelijk op de gewone manier uitrekenen. Als we bijvoorbeeld i³ willen vereenvoudigen, kunnen we de uitdrukking volgens de regels voor het rekenen met machten schrijven als i² · i. We weten al dat i² gelijk is aan min één. De andere i kunnen we niet verder ontbinden, dus we krijgen: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

Ook voor i⁴. Dat kunnen we schrijven als i² · i², waarbij i² = −1, dus we krijgen: −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Dus i⁴ = 1. Dat feit kunnen we gebruiken als we nog hogere machten van de imaginaire eenheid uitrekenen. Als we bijvoorbeeld i⁷ berekenen, kunnen we dat schrijven als i⁴ · i³. We weten dat i⁴ = 1, dus we krijgen: 1 · i³. En we weten dat i³ = −i. Het resultaat is: 1 · (−i) = −i.

Optellen en vermenigvuldigen

Complexe getallen kunnen we optellen en vermenigvuldigen. Bij het optellen van twee complexe getallen z₁ en z₂ tellen we gewoon de reële delen en de imaginaire delen apart op:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Voorbeeld: z₁ = 3 + 7i en z₂ = 5 + 8i. De som ziet er dan zo uit: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Het product van twee complexe getallen is wat ingewikkelder, maar we kunnen het gewoon uitrekenen door de haakjes uit te werken. De basisformule ziet er zo uit:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

En hoe komen we daaraan? We werken z₁ · z₂ uit op dezelfde manier als gewone haakjes. We krijgen:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Omdat i² = −1, krijgen we na herleiden van de laatste term:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

En nu brengen we de termen zonder en met de imaginaire eenheid bij elkaar:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Voorbeeld. We vermenigvuldigen de getallen 5 + 6i en 4 + 7i. We krijgen:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Tegengestelde, omgekeerde en toegevoegde complexe getallen

• De tegengestelde van een complex getal x + yi is −x − yi. Net als bij reële getallen krijgen we de tegengestelde door het complexe getal met min één te vermenigvuldigen. Voorbeeld: de tegengestelde van 2 + 7i is −2 − 7i. De tegengestelde van −5 + 8i is 5 − 8i enzovoort.

• Het omgekeerde van een complex getal x + yi is $\frac{1}{x+yi}$. Het omgekeerde van het getal 4 − 2i is dus $\frac{1}{4-2i}$.

• Het toegevoegde complexe getal van x + yi is x − yi. We schrijven dat meestal met een streep boven het getal: $\bar{z}$, of met een sterretje z*. Dit is het toegevoegde complexe getal van het complexe getal z. Het toegevoegde complexe getal van 2 + 9i is 2 − 9i.

Aftrekken en delen

Nu we de tegengestelde en het omgekeerde hebben gedefinieerd, kunnen we ook aftrekken en delen definiëren. Als we twee complexe getallen willen aftrekken, z₁ − z₂, tellen we bij z₁ de tegengestelde van z₂ op. In de praktijk krijgen we een eenvoudige formule:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Op dezelfde manier zetten we een deling z₁ / z₂ om in een vermenigvuldiging: we vermenigvuldigen z₁ · z₂′, waarbij z₂′ het omgekeerde van het getal z₂ is.

Absolute waarde

De absolute waarde van een complex getal z berekenen we met de formule:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(In de tweede wortel is die tweede z het toegevoegde complexe getal van z.) De betekenis van deze formule zie je goed in de meetkundige voorstelling van complexe getallen.

Elk complex getal waarvan de absolute waarde gelijk is aan één, noemen we een complexe eenheid. Voorbeelden van complexe eenheden: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Eigenschappen van de absolute waarde:

• De absolute waarde van een complex getal is een reëel getal.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z*|, waarbij z* het toegevoegde complexe getal is.