✖

Gehele getallen

Gehele getallen zijn getallen zonder decimaal deel. Ze bevatten de natuurlijke getallen, de bijbehorende tegengestelden (de negatieve getallen) en de nul.

Eigenschappen

Vliegende getallen

De gehele getallen vormen een verzameling met de getallen …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Die verzameling schrijven we meestal met de letter Z met een dubbele middelste streep: ℤ, van het Duitse “Zahlen” (getallen). De gehele getallen vormen een oneindige en aftelbare verzameling.

De gehele getallen hebben bijvoorbeeld deze eigenschappen:

  1. Ze zijn afgesloten onder vermenigvuldigen en optellen, net als de natuurlijke getallen. Dat betekent dat we weer een geheel getal krijgen als we twee gehele getallen optellen.
  2. Anders dan de natuurlijke getallen zijn de gehele getallen ook afgesloten onder aftrekken. Bij de natuurlijke getallen was dat niet zo, omdat het verschil van twee natuurlijke getallen negatief kon zijn. Bij de gehele getallen is dat geen probleem, want die bevatten de negatieve getallen.
  3. Net als de natuurlijke getallen zijn ze niet afgesloten onder delen. Na een deling kunnen we nog steeds een getal krijgen dat niet geheel is.
  4. Bij elk geheel getal c hoort een tegengestelde −c. Voor het getal 10 is de tegengestelde −10. Voor 55 is dat −55. En zo ook bij negatieve getallen: voor −13 is de tegengestelde 13. Als we een geheel getal c en de tegengestelde −c optellen, krijgen we nul: c + (−c) = 0. Daarom is de tegengestelde van nul weer nul.

Even en oneven getallen

We kunnen de gehele getallen verdelen in even en oneven getallen. Even getallen zijn getallen die deelbaar zijn door twee, dus 2, −4, −8, 40, 124 enzovoort. Bij oneven getallen blijft er na deling door twee een rest van één over. Dat zijn de getallen −1, 1, 5, 19, −41 enzovoort. Let op: ook bij negatieve getallen maken we onderscheid tussen even en oneven (het getal −5 is dus echt oneven), en 0 is een even getal.

Eigenschappen bij optellen: als je twee even getallen optelt, krijg je weer een even getal. De andere eigenschappen staan in de volgende tabel:

even+even=eveneven+oneven=onevenoneven+oneven=even

Een soortgelijke tabel voor vermenigvuldigen:

even⋅even=eveneven⋅oneven=evenoneven⋅oneven=oneven

Delen met rest

Ook bij de gehele getallen kunnen we, net als bij de natuurlijke getallen, delen met rest definiëren. We moeten alleen rekening houden met negatieve getallen. De basisdefinitie ziet er nu zo uit:

a=q⋅b+r,a,q∈Z,b∈Z−{0},0≤r<|b|

In deze uitdrukking delen we a:b. Het getal q is de uitkomst (het quotiënt) en het getal r is de rest. Het getal b mag niet nul zijn, want we kunnen niet door nul delen. De rest moet niet-negatief zijn en kleiner dan de absolute waarde van b. Zo zijn het quotiënt en de rest eenduidig bepaald.

Hoe ziet zo'n deling eruit? We proberen −21:4. Dan krijgen we:

−21=−6⋅4+3

De uitkomst (het quotiënt) is −6 en de rest is 3. Het kan je verbazen dat de uitkomst anders is dan wanneer alle getallen positief zijn:

21=5⋅4+1

Hier is de uitkomst (het quotiënt) 5 en de rest 1. Het verschil komt door de negatieve getallen. Bij positieve getallen zoeken we in de eerste stap het grootste getal dat niet groter is dan 21 en zonder rest deelbaar is door vier. Dat is 20. We delen dus 20:4 = 5 en dat geeft ons de vijf. De rest krijgen we dan als verschil 21 − 20.

Bij negatieve getallen gaan we hetzelfde te werk. We zoeken het grootste getal dat niet groter is dan −21 en zonder rest deelbaar is door 4. Het getal −20 is echter groter dan −21. Het grootste getal dat niet groter is dan −21 en zonder rest deelbaar is door 4, is daarom −24. De rest krijgen we weer als verschil: −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

Gerelateerde artikelen