Commutativiteit

Commutativiteit is een eigenschap van bewerkingen zoals optellen. We kunnen zien dat het bij optellen niet uitmaakt in welke volgorde je de getallen optelt, dus 3 + 5 is hetzelfde als 5 + 3. Welke twee reële getallen we ook optellen, a + b, de uitkomst blijft hetzelfde als we de getallen omwisselen: b + a. Als een bewerking aan deze voorwaarde voldoet, zeggen we dat ze commutatief is.

Een ander voorbeeld van een commutatieve bewerking is vermenigvuldigen, want 2 · 6 heeft dezelfde uitkomst als 6 · 2 en hetzelfde geldt voor elke twee getallen a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Een voorbeeld van een bewerking die niet commutatief is, is aftrekken, want 7 − 4 is iets anders dan 4 − 7. In het eerste geval krijgen we de uitkomst 3, in het tweede geval −3. Een ander voorbeeld is delen, want 2 / 5 is iets anders dan 5 / 2.

Pas wel op voor andere eigenschappen van bewerkingen, bijvoorbeeld de volgorde van bewerkingen. Als we de uitdrukking 1 + 2 · 3 hebben, kunnen we niet zeggen dat dat hetzelfde is als 2 + 1 · 3. Vermenigvuldigen gaat namelijk voor optellen. We kunnen ons helpen met haakjes: de uitdrukking 1 + 2 · 3 is hetzelfde als 1 + (2 · 3). Als we de commutatieve eigenschap van optellen willen toepassen, mag dat, maar dan moeten we het hele haakje meenemen: 1 + (2 · 3) is gelijk aan (2 · 3) + 1 en dat is gelijk aan (3 · 2) + 1 als we ook nog de commutativiteit van vermenigvuldigen toepassen.

Bewerkingen met verzamelingen en commutativiteit

Niet alleen bewerkingen met getallen kunnen commutatief zijn, maar bijvoorbeeld ook bewerkingen met verzamelingen. De doorsnede van verzamelingen A en B is bijvoorbeeld een commutatieve bewerking. De doorsnede van twee verzamelingen bestaat uit de “elementen die in beide verzamelingen zitten”, dus

$$A\cap B=B\cap A$$

Precies zo werkt het bij de vereniging van verzamelingen A en B, waarvan het resultaat bestaat uit de “elementen die in minstens een van de verzamelingen zitten”, en dus:

$$A\cup B=B\cup A$$

Het verschil van verzamelingen is bijvoorbeeld niet commutatief.

Vectoren

Een andere commutatieve bewerking vinden we bij de bewerkingen met vectoren, namelijk het optellen van vectoren. In het algemeen is optellen meestal een commutatieve bewerking. Als we in dit geval twee vectoren $\overrightarrow{u}$ en $\overrightarrow{v}$ hebben, geldt dat

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Grafisch wordt dat weergegeven in de volgende figuur:

De som $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ wordt weergegeven door de “bovenste route”, waarbij we eerst de rode vector $\overrightarrow{u}$ toepassen en pas daarna de blauwe vector $\overrightarrow{v}$. De som $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ wordt weergegeven door de “onderste route”: eerst volgen we de blauwe vector $\overrightarrow{v}$ en daarna de rode vector $\overrightarrow{u}$. Het resultaat is hetzelfde: de vectoren eindigen in hetzelfde punt.

Je kunt het je voorstellen alsof je ergens vertrekt en vijftig meter naar het noorden loopt en dan twintig meter naar het westen. Als je eerst twintig meter naar het westen zou lopen en dan vijftig meter naar het noorden, zou je op dezelfde plek uitkomen. Zo'n manier van lopen is dus commutatief.

Logica

Ook de logische operatoren “en tegelijk” (conjunctie) en “of” (disjunctie) zijn commutatief. Dat betekent dat de uitspraak “het getal 5 is oneven en een priemgetal” dezelfde waarheidswaarde heeft als de uitspraak “het getal 5 is een priemgetal en is oneven”. Zo ook bij de disjunctie: “het getal 6 is een priemgetal of is even” heeft dezelfde waarheidswaarde als de uitspraak “het getal 6 is even of is een priemgetal”.

De implicatie is echter niet commutatief: de uitspraak “als ik de loterij 6 uit 49 win, ben ik rijk” is niet hetzelfde als “als ik rijk ben, win ik de loterij 6 uit 49”.