Deelruimte

Een deelruimte is een deelverzameling van een vectorruimte die nog steeds gesloten is onder optelling en vermenigvuldiging met een scalair.

Definitie

We nemen een vectorruimte V. Een deelruimte W zou dan een deelverzameling van de ruimte V zijn, waarbij de verzameling W zelf ook een vectorruimte is. Een niet-lege deelverzameling W ⊆ V moet dus aan deze twee voorwaarden voldoen om een deelruimte van de ruimte V te zijn: voor alle x, y ∈ W en voor elke a ∈ ℝ:

• x + y ∈ W,
• a · x ∈ W.

We moeten dus uit V een deelverzameling kiezen zodat deze vectoren gesloten zijn onder optelling en vermenigvuldiging.

Deelruimte van de ruimte R³

We proberen de ruimte ℝ³ te nemen en zoeken een deelruimte.

1. Wat dacht je van alle drietallen van de vorm (a, a, a), waarbij a ∈ ℝ. Dus drietallen zoals $(1,1,1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ of (−π, −π, −π). Zo'n deelruimte, noem haar W₁, zou een deelverzameling van de ruimte ℝ³ zijn, dus W₁ ⊆ ℝ³, want ℝ³ bevat gewoon alle drietallen.

Zo'n ruimte zou gesloten zijn onder de bewerking optellen van vectoren, want

$$(a,a,a)+(b,b,b)=(a+b,a+b,a+b).$$

Na het optellen van twee vectoren zouden we een nieuwe vector krijgen die weer drie gelijke componenten heeft, en zo'n vector zit in de verzameling W₁. De verzameling W₁ voldoet dus aan de eerste voorwaarde van een deelruimte. Maar voldoet ze aan de tweede voorwaarde?

Ja, want het k-voud verandert weer alle drie de componenten van de vector, maar op precies dezelfde manier:

$$k\cdot (a,a,a)=(k\cdot a,k\cdot a,k\cdot a).$$

We krijgen weer een vector met drie gelijke componenten en zo'n vector zit in de verzameling W₁. De verzameling W₁ is dus een deelruimte van ℝ³.

• We kunnen proberen alle drietallen (a, b, c) te nemen waarvoor a, b, c ∈ [−1, 1]. Deze verzameling noemen we W₂ en de elementen zijn bijvoorbeeld de drietallen $(\frac{1}{2},-\frac{2}{7},\frac{8}{9})$ of $(0,\frac{\pi }{4},1)$. Zijn de elementen van W₂ gesloten onder optelling? Zeker niet, want $(1,1,1)+(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4})$ is gelijk aan het drietal $(\frac{3}{2},\frac{4}{3},\frac{5}{4})$, dat niet tot W₂ behoort. De verzameling W₂ vormt dus geen deelruimte van de ruimte ℝ³, de verzameling W₂ vormt helemaal geen ruimte.

• Nu nemen we alle drietallen van de vorm (a, 0, b), waarbij a, b ∈ ℝ. Dat zijn alle drietallen waarvan de tweede component nul is. We noemen deze verzameling W₃. Is deze verzameling gesloten onder optelling? Ja, want

$$(a,0,b)+(c,0,d)=(a+c,0,b+d)$$

Het resultaat is het drietal (a + c, 0, b + d), dat een tweede component nul heeft en op de andere twee reële getallen. Dit drietal zit zeker in W₃. Is W₃ gesloten onder vermenigvuldiging? Ja, want

$$k\cdot (a,0,b)=(k\cdot a,0,k\cdot b)$$

We krijgen weer het drietal (k · a, 0, k · b), dat de tweede component altijd nul heeft en de andere componenten zijn reële getallen. Zo'n drietal is een element van W₃. De verzameling W₃ vormt dus een deelruimte van de ruimte ℝ³. Merk op dat als de drietallen de vorm (a, b, 0) of (a, 0, 0) hadden, ze ook een deelruimte zouden vormen.

Deelruimte van veeltermen

In het vorige artikel hebben we een vectorruimte van veeltermen gezien. Ter herhaling: een veelterm is een uitdrukking van de vorm

$$p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$

We nemen aan dat a_n ≠ 0. De graad van zo'n veelterm is dan precies het getal n. De reële getallen a₀, …, a_n noemen we de coëfficiënten van de veelterm. Een voorbeeld van een veelterm is de uitdrukking 4 + 3x − 7x². We proberen een deelruimte te vinden. We nemen dus de vectorruimte P(x) van alle veeltermen.

1. Eerst proberen we de verzameling van alle veeltermen van graad n, waarbij n ≥ 0, we noemen deze verzameling W₁. In het vorige artikel hebben we al gezegd dat dit helemaal geen vectorruimte is, dus het zal moeilijk een deelruimte van de ruimte P(x) zijn. Herhalen we dus dat als we bijvoorbeeld een veelterm in W₁ met nul vermenigvuldigen, we de veelterm p(x) = 0 krijgen, die per definitie graad −1 heeft. Dit element zit dus zeker in geen enkele W₁.

2. We proberen voor W₂ alle veeltermen van graad n en lager te nemen. Dus voor n = 2 zitten in W₂ alle veeltermen van graad 2, 1, 0, −1. Is deze verzameling gesloten onder optelling? Ja, want de som van twee veeltermen van graad n wordt nooit groter dan n, maar kan alleen kleiner zijn. Net zo is deze verzameling gesloten onder vermenigvuldiging, want elk k-voud van een veelterm p(x) kan als resultaat een veelterm van dezelfde graad hebben of de nulveelterm. Beide mogelijkheden worden gedekt door de verzameling W₂, dus W₂ vormt een deelruimte van de ruimte P(X).

Basiseigenschappen van deelruimten

We nemen een vectorruimte V en twee deelruimten daarvan W₁ en W₂. Dan geldt dat

1. De doorsnede W₁ ∩ W₂ is een deelruimte van V.

   We nemen de vectorruimte ℝ³ en deelruimten W₁ en W₂ zodat W₁ bestaat uit drietallen van de vorm (a, b, 0) en W₂ uit drietallen van de vorm (a, 0, b), waarbij a, b ∈ ℝ. De doorsnede W₁ ∩ W₂ is dan de verzameling die drietallen van de vorm (a, 0, 0) bevat — zo'n verzameling is duidelijk een deelruimte van de ruimte ℝ³.

   Dat is natuurlijk geen bewijs. Dat zou er zo uitzien: we nemen een willekeurige vectorruimte V en twee deelruimten daarvan W₁ en W₂. We willen nu bewijzen dat voor alle x, y ∈ W₁ ∩ W₂ geldt dat x + y ∈ W₁ ∩ W₂.

   Omdat de vectoren x en y in de doorsnede W₁ ∩ W₂ zitten, moet zeker gelden dat x, y ∈ W₁ en tegelijk x, y ∈ W₂ (dat geldt vanwege de definitie van de doorsnede van verzamelingen). Omdat W₁ en W₂ tegelijk vectorruimten zijn, moet ook gelden dat x + y ∈ W₁ en tegelijk moet gelden x + y ∈ W₂ (dat geldt vanwege de definitie van vectorruimten). Nu hebben we echter dat x + y ∈ W₁ en tegelijk x + y ∈ W₂, waaruit volgt dat x + y ∈ W₁ ∩ W₂ (weer op grond van de definitie van de doorsnede van verzamelingen — als een element in de verzameling W₁ ligt en ook in de verzameling W₂, moet het ook in hun doorsnede liggen).

   Verder moeten we de geslotenheid onder vermenigvuldiging controleren. We moeten bewijzen dat voor alle k ∈ ℝ en x ∈ W₁ ∩ W₂ geldt dat k · x ∈ W₁ ∩ W₂. De werkwijze is dezelfde. Omdat x ∈ W₁ ∩ W₂, is tegelijk ook x ∈ W₁ en x ∈ W₂. Omdat W₁ en W₂ ruimten zijn, is k · x ∈ W₁ en tegelijk k · x ∈ W₂ en dus k · x ∈ W₁ ∩ W₂. □

2. De vereniging W₁ ∪ W₂ hoeft niet per se een deelruimte van V te zijn.

   Om de tweede eigenschap te bewijzen, is het genoeg een geschikt tegenvoorbeeld te vinden. We kunnen volstaan met de voorgaande ruimten W₁ en W₂, die drietallen van de vorm (a, b, 0), respectievelijk (a, 0, b) hebben. Als we hun vereniging nemen, krijgen we alle drietallen die een nul op de tweede of derde plaats moeten hebben. De vectoren (1, 0, 1) en (1, 1, 0) zitten dus zeker in de vereniging W₁ ∪ W₂. Hun som is echter gelijk aan de vector (2, 1, 1), en dat is een vector die nergens een nul heeft. Deze vector zit niet in W₁ en niet in W₂, dus hij kan ook niet in W₁ ∪ W₂ zitten. We hebben dus twee vectoren gevonden waarvan de som niet tot dezelfde verzameling behoort, dus het kan geen vectorruimte zijn.