Basisveranderingsmatrix

Als we een vectorruimte V en twee bases daarvan hebben, kunnen we één vector uit de ruimte uitdrukken als combinatie van vectoren uit beide bases. De basisveranderingsmatrix (ook overgangsmatrix genoemd) helpt ons dan om de ene uitdrukking om te zetten in de andere.

Motivatie

We nemen een n-dimensionale vectorruimte V en twee verschillende bases daarvan E = {e₁, …, e_n} en F = {f₁, …, f_n}. Verder kiezen we een vector x uit V. Omdat x uit de ruimte V komt en omdat E en F allebei bases van deze ruimte zijn, moet gelden dat er coëfficiënten a₁, …, a_n bestaan zodat:

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{e}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{e}}_n$$

en tegelijk moeten er coëfficiënten b₁, …, b_n bestaan zodat:

$$\mathbf{x}=b_1\cdot {\mathbf{f}}_1+\dots +b_n\cdot {\mathbf{f}}_n$$

In het eerste geval drukken we de vector x uit met behulp van de basis E, in het tweede geval met behulp van de basis F. We gebruiken twee verschillende bases om x uit te drukken, dus we krijgen ook twee verschillende sets coëfficiënten a_i en b_i. De vraag dient zich aan: als we de coëfficiënten b_i kennen, bestaat er dan een manier om uit deze coëfficiënten de coëfficiënten a_i te krijgen, dus de uitdrukking ten opzichte van de eerste basis?

Ja, daar dient de zogenaamde basisveranderingsmatrix voor.

Hoe krijg je de basisveranderingsmatrix

We blijven erbij dat we een ruimte V en twee bases E = {e₁, …, e_n} en F = {f₁, …, f_n} hebben. Omdat E een basis van de ruimte V is, kunnen zeker ook alle vectoren f₁, …, f_n worden uitgedrukt als lineaire combinaties van vectoren uit de basis E. De vectoren f₁, …, f_n maken weliswaar deel uit van de basis F, maar zijn tegelijk gewone elementen van de ruimte V, dus er moet gelden:

$$\begin{array}{rcl}{\mathbf{f}}_1& =& a_{11}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{21}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n1}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ {\mathbf{f}}_2& =& a_{12}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{22}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{n2}\cdot {\mathbf{e}}_n\\ & \dots & \\ {\mathbf{f}}_n& =& a_{1n}\cdot {\mathbf{e}}_1+a_{2n}\cdot {\mathbf{e}}_2+\dots +a_{nn}\cdot {\mathbf{e}}_n\end{array}$$

We schrijven deze vergelijkingen nu over in een matrix zodat in de eerste kolom van de matrix de coëfficiënten van de vector $\mathbf{f}\mathrm{\_}1$ staan, dus a_i1, in de tweede de coëfficiënten van de vector $\mathbf{f}\mathrm{\_}2$, dus a_i2, enzovoort. We krijgen de matrix:

$$P=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ \dots \\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$$

Zo'n matrix heet de basisveranderingsmatrix van basis E naar basis F. Als we een vector x = (x₁, …, x_n) uit V hebben die ten opzichte van de basis F coëfficiënten b₁, …, b_n heeft, dan krijgen we de coëfficiënten a₁, …, a_n ten opzichte van de basis E met

$$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)=P\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

Voorbeeld

We werken in de vectorruimte ℝ³. We kiezen als ene basis de standaardbasis E = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} en als andere basis F = {(2, 0, 0), (3, 2, 0), (1, 5, 4)}. De basisveranderingsmatrix van basis E naar basis F heeft de vorm

$$P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)$$

Nu kiezen we een willekeurige vector x ∈ ℝ³, bijvoorbeeld x = (12, 41, 28). Die heeft ten opzichte van de basis F de coëfficiënten b₁ = −2, b₂ = 3, b₃ = 7. We voeren dus het product van matrices uit:

$$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 0& 2& 5\\ 0& 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 41\\ 28\end{array}\right)$$

Ten opzichte van de basis E heeft de vector x de coëfficiënten a₁ = 12, a₂ = 41, a₃ = 28. Er geldt dus:

$$(12,41,28)=12\cdot (1,0,0)+41\cdot (0,1,0)+28\cdot (0,0,1)$$