Associativiteit

Associativiteit is een eigenschap van bewerkingen zoals optellen of vermenigvuldigen. Kijk maar eens naar de volgende twee schrijfwijzen van een optelling:

$$(1+2)+31+(2+3)$$

De uitdrukkingen verschillen alleen in de plaats van het haakje. Maar verschillen ook de uitkomsten? Beide uitdrukkingen leiden tot dezelfde uitkomst: de som is steeds 6. Als de plaats van de haakjes geen invloed heeft op de uitkomst, zeggen we dat de bewerking associatief is. Preciezer kunnen we opschrijven dat de bewerking a ∘ b associatief is als geldt

$$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$$

Een andere associatieve bewerking is vermenigvuldigen, want er geldt

$$(2\cdot 3)\cdot 4=2\cdot (3\cdot 4)=24$$

Bewerkingen die niet associatief zijn

Aftrekken is niet associatief. Neem bijvoorbeeld de uitdrukking (10 − 4) − 3. Eerst berekenen we het verschil in het haakje en dat geeft 6 − 3, en dat is gelijk aan 3. Maar als we 10 − (4 − 3) proberen uit te rekenen, berekenen we weer eerst de inhoud van het haakje en krijgen we 10 − 1, en dat is 9. De bewerking aftrekken is dus niet associatief.

Delen is ook niet associatief. Neem bijvoorbeeld de uitdrukking (64 / 4) / 2. Eerst rekenen we het haakje uit en we krijgen 16/2, en dat is 8. Maar als we het haakje ergens anders zetten, krijgen we 64 / (4 / 2), en na het uitrekenen van het haakje hebben we 64 / 2, en dat is 32. De bewerking delen is dus niet associatief.

Een andere typische bewerking die niet associatief is, is machtsverheffen:

$${\left(2^3\right)}^4\ne 2^{\left(3^4\right)}$$

Associativiteit gaat over één bewerking!

Let op: associativiteit gaat altijd over één bewerking. Als we een uitdrukking met drie getallen hebben, maar niet steeds dezelfde bewerking, kunnen we de associatieve regel niet gebruiken. Een voorbeeld:

$$(1+2)\cdot 3$$

De uitdrukking bevat twee bewerkingen: optellen en vermenigvuldigen. Beide bewerkingen zijn op zichzelf associatief, maar toch kunnen we de associatieve regel hier niet gebruiken, we kunnen dit niet omwerken tot

$$1+(2\cdot 3)$$

omdat de uitdrukking twee verschillende bewerkingen bevat. Om de associatieve regel te kunnen gebruiken, zouden beide bewerkingen optellen moeten zijn of beide vermenigvuldigen.

Doorsnede en vereniging

De doorsnede van verzamelingen is associatief. Een voorbeeld:

$$(\{1,2,3\}\cap \{1,3,5\})\cap \{1,5,7\}$$

Die zouden we eerst omwerken door de doorsnede van de verzamelingen in het haakje uit te rekenen, tot

$$\{1,3\}\cap \{1,5,7\}$$

En de doorsnede van die verzamelingen is gelijk aan {1}. Als we de haakjes zouden verplaatsen, kregen we

$$\{1,2,3\}\cap (\{1,3,5\}\cap \{1,5,7\})$$

en na het uitrekenen van het haakje:

$$\{1,2,3\}\cap \{1,5\}$$

En weer zouden we {1} krijgen. We zien dat de plaats van de haakjes er niet toe doet, en daarom is de doorsnede van verzamelingen associatief. Op dezelfde manier zou de vereniging van verzamelingen associatief zijn.

Woorden samenstellen / aaneenschakelen

Stel je voor dat we een optelling hadden voor delen van woorden en dat die gewoon het aan elkaar plakken van woorden betekende. Dus “reken” + “machine” zou gelijk zijn aan het woord “rekenmachine”. Zo'n bewerking zou associatief zijn. Als we bijvoorbeeld (“gloei” + “lam”) + “p” zouden opschrijven, zouden we eerst door het haakje op te tellen “gloeilam” + “p” krijgen, en dat geeft het woord “gloeilamp”. Als we de haakjes zouden verplaatsen, “gloei” + (“lam” + “p”), kregen we na het optellen in het haakje “gloei” + “lamp”, en dat geeft weer het woord “gloeilamp”.

Het maximum of minimum is associatief

Stel je de bewerking a ∨ b voor, die het grootste van twee getallen teruggeeft. Zo'n bewerking zou associatief zijn. Bijvoorbeeld (5 ∨ 10) ∨ 7 zouden we omwerken tot 10 ∨ 7 en dat zou gelijk zijn aan 10. De tien is van die drie getallen het grootste. Als we de haakjes zouden verplaatsen, kregen we 5 ∨ (10 ∨ 7), na het uitrekenen 5 ∨ 10, en dat is weer 10.

Het minimum zou zich precies zo gedragen.