Vermenigvuldigen
Vermenigvuldigen is een basisbewerking die we dagelijks tegenkomen.
Wat is vermenigvuldigen
De bewerking vermenigvuldigen noteren we met een punt in het midden of met een kruisje. Als we drie maal zeven willen opschrijven, schrijven we 3 · 7 of 3 × 7. Soms wordt in plaats van het kruisje de gewone letter x (iks) gebruikt: 3 x 7.
Het vermenigvuldigen van natuurlijke getallen, dus de getallen 1, 2, 3, …, kunnen we eenvoudig terugbrengen tot optellen. Neem als voorbeeld 4 · 6 = ?, vier maal zes. In gewone taal zouden we kunnen zeggen: “ga vier keer naar Daan toe en geef hem elke keer zes tikken op zijn schouder”. Hoeveel tikken zijn dat in totaal? De eerste keer geven we hem zes tikken, de tweede keer ook, de derde keer ook en de vierde keer ook. In totaal hebben we hem 6 + 6 + 6 + 6 = 24 tikken gegeven. Om niet steeds zoveel gelijke getallen op te hoeven schrijven, is het vermenigvuldigen ingevoerd. Als we vier zessen bij elkaar willen optellen, kunnen we dus in plaats van 6 + 6 + 6 + 6 gewoon 4 × 6 schrijven.
Je ziet dat het niet uitmaakt of we vier zessen optellen of zes vieren. We krijgen altijd dezelfde uitkomst.
De uitkomst van een vermenigvuldiging noemen we het product, dus we zeggen “het product van 4 en 6 is 24”, of “het product van 4 maal 6 is 24”. De getallen die we vermenigvuldigen, in dit geval 4 en 6, heten factoren.
Vermenigvuldigen in een figuur
Grafisch kunnen we vermenigvuldigen weergeven als de oppervlakte van een rechthoek. We blijven bij het voorbeeld 4 · 6. We maken een rechthoek met een zijde van lengte 4 en een andere zijde van lengte 6. De rechthoek ziet er zo uit:
Nu berekenen we de oppervlakte van deze rechthoek, en dat betekent dat we alle vierkantjes tellen die erin zitten.
We zien dat er precies 24 vierkantjes zijn. Waarom? Omdat we vier rijen van zes vierkantjes op elkaar hebben gestapeld, dus de uitkomst is weer de som 6 + 6 + 6 + 6 = 24.
Vermenigvuldigen met nul
Als we een getal met nul vermenigvuldigen, is de uitkomst weer nul. De reden is eenvoudig: als we bij de voorgaande voorbeelden blijven, is het alsof we zeggen “ga geen enkele keer naar Daan toe en geef hem zes tikken”. Daan blijft nu ongemoeid, want hij zou weliswaar zes tikken krijgen, maar geen enkele keer.
Dat kunnen we ook in een figuur laten zien. Een figuur met het product 5 · 0 ziet er zo uit:
Omdat de tweede factor nul is, heeft ook één zijde van de rechthoek lengte nul. De rechthoek wordt daardoor een lijnstuk, en dat heeft geen oppervlakte.
Volgorde van bewerkingen
Vermenigvuldigen gaat voor optellen en aftrekken. Dat betekent dat je bij de som 2 + 3 · 4 eerst het product 3 · 4 = 12 uitrekent en pas daarna de som. Na het uitrekenen van het product hebben we dus 2 + 12, en dat is gelijk aan 14.
Als je eerst de som zou uitrekenen, kreeg je een andere uitkomst: 2 + 3 = 5 en daarna 5 · 4 = 20. Deze uitkomst is fout.
Hetzelfde geldt voor aftrekken, dus 10 − 8 · 2 + 7 rekenen we alsof er haakjes staan: 10 − (8 · 2) + 7. Dus: 10 − 16 + 7 = 1.
Pas op voor strikvragen die vaak op social media rondgaan. Daar staan sommen als 1 + 1 + 1 · 0 = ?. Veel mensen zien het vermenigvuldigen met nul en schrijven meteen dat de uitkomst nul is, maar dat is fout. Omdat vermenigvuldigen voorrang heeft, is deze som gelijk aan 1 + 1 + (1 · 0) = ?.
Hier rekenen we eerst het product tussen de haakjes uit: 1 + 1 + 0 = ? en nu tellen we op: 1 + 1 + 0 = 2. De juiste uitkomst is 2, niet 0.
Het gemene is dat een eenvoudigere rekenmachine ook nul geeft. Waarom? Omdat je in een eenvoudige rekenmachine niet de hele uitdrukking invoert, maar stap voor stap, en de rekenmachine werkt met een tussenuitkomst. Als je in zo'n rekenmachine 1 + 1 + 1 · 0 intikt, rekent hij eerst 1 + 1 = 2 uit, dan 2 + 1 = 3, omdat hij alleen de tussenuitkomst 2 onthoudt, en ten slotte 3 · 0 = 0. De rekenmachine heeft dus eigenlijk de som (((1 + 1) + 1) · 0) uitgerekend.
Sommige rekenmachines kunnen wel met de volgorde van bewerkingen omgaan en laten je de hele som in één keer invoeren, en rekenen hem dan goed uit. Kan die van jou dat niet, houd er dan rekening mee.
Over de volgorde van bewerkingen kun je een apart artikel lezen.
De tafels van vermenigvuldiging
Voor het verdere rekenen is het handig om alle tafels van vermenigvuldiging uit je hoofd te kennen, dus alle veelvouden van getallen kleiner dan 11:
Eerst de tafels van 1 tot en met 5:
En nu van 6 tot en met 10:
Hoofdstukken: Vermenigvuldigen, Cijferend vermenigvuldigen, Negatieve getallen vermenigvuldigen
