Wortels

De wortel is een gedeeltelijke inverse functie van de macht. Meestal werken we met de vierkantswortel, die zoekt naar het getal dat, als we het met zichzelf vermenigvuldigen, het oorspronkelijke getal oplevert waaruit we de wortel trokken.

Vierkantswortel

Voor de wortel gebruiken we het teken $\sqrt{}$. Om het argument van de wortel niet tussen haakjes te hoeven schrijven, zoals hier: $\sqrt{}$(25), zetten we boven het hele argument (de uitdrukking waaruit we de wortel willen trekken) een horizontale streep, zoals hier: $\sqrt{25}$.

In het begin houden we ons alleen bezig met de vierkantswortel uit een reëel getal. Die zouden we zo definiëren:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Als je de wortel van het getal a vermenigvuldigt met de wortel van het getal a, krijg je het getal a. Voor het getal 9 zou de wortel dus gelijk zijn aan 3, want er geldt 3 · 3 = 9.

De vorige uitdrukking kunnen we ook zo schrijven:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Het is maar een andere schrijfwijze van de vorige vermenigvuldiging, namelijk met behulp van een macht.

Een belangrijk feit is dat deze vergelijking alleen geldt voor die a die in het domein van de wortel liggen. Er geldt namelijk dat we geen wortel kunnen trekken uit een negatief getal. We kunnen de wortel uit elk positief getal trekken, we kunnen de wortel uit nul trekken, maar uit een negatief getal kunnen we dat niet. Waarom kan dat niet?

Stel dat we de wortel uit −25 willen berekenen. We hebben in principe twee mogelijkheden voor het getal dat we kiezen. Een positief of een negatief getal. Als we een positief getal kiezen, hebben we 5 · 5 = 25. We hebben wel 25 gekregen, maar we willen −25. We proberen dus −5 te kiezen; maar na het vermenigvuldigen hebben we weer 25. Kortom, als je twee negatieve getallen vermenigvuldigt, krijg je een positief getal. Hetzelfde geldt als je twee positieve getallen vermenigvuldigt. Je zou −5 · 5 moeten vermenigvuldigen om −25 te krijgen en dat kan niet, want je vermenigvuldigt twee verschillende getallen, ook al verschillen ze alleen in het teken. Daarom kun je de wortel uit een negatief getal niet berekenen.

De n-demachtswortel

Net zoals we een uitdrukking kunnen kwadrateren, tot de derde of tot de vierde macht kunnen verheffen, kunnen we ook de derdemachts- en de vierdemachtswortel hebben en ten slotte de n-demachtswortel uit een reëel getal. Het getal n schrijven we meestal klein linksboven het wortelteken, zo:

$$\sqrt[5]{32}$$

Deze schrijfwijze betekent de vijfdemachtswortel uit het getal tweeëndertig. De n-demachtswortel definiëren we met behulp van de n-de macht als volgt:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in \mathbb{N},a,b\ge 0$$

Als we voor n twee invullen, krijgen we de vierkantswortel zoals we die zojuist hebben gedefinieerd. Verkort zouden we het ook zo kunnen definiëren:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Er geldt de afspraak dat we bij de vierkantswortel de twee niet hoeven te schrijven, dus deze schrijfwijzen zijn gelijkwaardig:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Voor de vierdemachtswortel zou dus bijvoorbeeld gelden:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

En een concreet voorbeeld:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

En omgekeerd geldt 4 · 4 · 4 = 64.

Wortel uit een negatief getal

We weten al dat er geen vierkantswortel uit een negatief getal bestaat, omdat a², waarbij a een reëel getal is, nooit negatief zal zijn. Bij n-demachtswortels vermenigvuldigen we echter niet alleen twee keer, dus er kunnen gevallen zijn waarin de n-demachtswortel uit een negatief getal wel bestaat. Hoe zit dat dan?

Het probleem was dat als we een negatief getal twee keer vermenigvuldigen, we een positief getal krijgen. Voor de uitkomst −25 hadden we het product −5 · 5 nodig. Maar wat gebeurt er als we drie negatieve getallen vermenigvuldigen? Na het vermenigvuldigen van de eerste twee negatieve getallen hebben we een positief getal. Maar na het vermenigvuldigen met het laatste negatieve getal hebben we weer een negatief getal. Als we nog een keer zouden vermenigvuldigen (in totaal vier keer), zijn we weer bij de positieve getallen.

De les hieruit is dat als we een negatief getal n keer vermenigvuldigen, het product positief is als n even is en negatief als n oneven is. Daaruit leiden we af dat de n-demachtswortel uit een negatief getal bestaat als n oneven is. Voorbeeld:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Omzetten in een macht

Wortels kunnen we eenvoudig omzetten in machten en dat doen we ook vaak, omdat je dan beter met de wortels kunt werken. Er geldt de volgende relatie:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Als we de n-demachtswortel uit a hebben, is dat hetzelfde alsof we a tot de macht 1/n verheffen. Dit komt je ook van pas als je ergens een andere wortel dan de vierkantswortel moet invoeren. Vaak kan dat niet rechtstreeks, maar je kunt wel een breuk als exponent invoeren. Wil je de grafiek van de vierdemachtswortel laten tekenen, laat dan de grafiek van de functie tekenen

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Het vaakst wordt het omzetten van de vierkantswortel gebruikt:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Formules voor wortels

Omdat je een wortel eenvoudig in een macht kunt omzetten, erven uitdrukkingen met een wortel de formules voor machten in het algemeen. Er gelden dus de volgende relaties:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Tegelijk gelden deze basisrelaties:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Gedeeltelijk worteltrekken

Gedeeltelijk worteltrekken is een techniek die wordt gebruikt om wortels te vereenvoudigen en gebruikmaakt van een van de voorgaande formules:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Sommige uitdrukkingen onder het wortelteken kunnen we namelijk ontbinden in een product, vervolgens uitschrijven tot twee wortels en ten slotte uit een van die wortels de wortel trekken. Een typisch voorbeeld kan dit zijn:

$$\sqrt{4x}$$

Deze uitdrukking kunnen we volgens de vorige formule zo herschrijven:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

En nu kunnen we de wortel uit de vier trekken:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

Op dezelfde manier kunnen we ook een gewoon getal herschrijven, als we de exacte vorm willen behouden. Een voorbeeld:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Rekenmachine

Als je een wortel moet berekenen, kun je onze rekenmachine voor wortels 🧮 gebruiken.