Rijen

Een rij is een functie waarvan het domein de verzameling van de natuurlijke getallen is. Een rij kan oneindig zijn, als het domein de hele verzameling van de natuurlijke getallen is, of eindig, als het domein slechts een eindige deelverzameling van de natuurlijke getallen is. Als er niet uitdrukkelijk bij staat dat het om een eindige rij gaat, gaan we uit van een oneindige rij.

Definitie van een rij

Dit hoofdstuk beschrijft in grote lijnen wat de definitie van een rij betekent. Je hoeft het niet per se te kennen: als je wilt, kun je het hele hoofdstuk overslaan.

In de inleiding hebben we al verklapt dat het om een functie gaat met de natuurlijke getallen als domein. Het bereik kan dan elke willekeurige verzameling zijn, maar hier gaan we uit van de reële getallen. Wat betekent dat? De meest zichtbare verandering zit in de grafiek van de functie: die is geen doorlopende lijn, zoals bij gewone functies vaak het geval is, maar bestaat uit losse, geïsoleerde punten van de rij.

Een rij kan bijvoorbeeld het rijtje getallen 1, 3, 5, 7, 9, 11, … zijn. Dat is een vrij duidelijk gedefinieerde rij en iedereen ziet hoe hij verdergaat. Omdat het een functie is, ziet de afbeeldingstabel van deze rij er zo uit:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

De getallen in de eerste kolom (waarden uit het domein) geven dus de plaats van het betreffende getal in de rij aan. In onze eenvoudige rij staat het getal vijf bijvoorbeeld op de derde plaats. Dat zegt de tabel ook precies. Op de vierde plaats staat zeven, op de eerste een één, enzovoort. Hieruit volgt ook dat het domein van een eindige rij p een verzameling van de vorm

$$D_p=\{1,2,3,\dots ,n\}$$

moet zijn, zodat het echt om een volgorde gaat en er geen plaats wordt overgeslagen. Deze verzameling

$$D_p=\{1,2,3,5,7\}$$

is bijvoorbeeld niet geschikt als domein van een rij, omdat het vierde en het zesde element ontbreken.

Een rij drukt dus uit dat de elementen op een bepaalde manier geordend zijn: elk element van de rij, behalve het eerste en het laatste, heeft een voorganger en een opvolger. Dat is een enorm verschil met reële functies, waar zoiets niet geldt. Als we de functie f(x) = 2x nemen, welke waarde volgt dan op f(5/2)? Dat weten we niet: het resultaat is een reëel getal en reële getallen hebben geen opvolger.

Notatie van een rij

We weten al dat een rij — eenvoudig gezegd — een genummerd rijtje getallen is. Hoe kunnen we een rij nu opschrijven? De rij zelf geven we meestal een naam met een kleine letter en een index onderaan, bijvoorbeeld a_i.

De eerste manier is het opsommen van alle waarden van de rij. Dat hebben we in het vorige hoofdstuk al gezien. De opsomming kan eindig of oneindig zijn:

$$\begin{array}{rcl}{a}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ a_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Opmerking: ik weet niet zeker welke haakjes er gewoonlijk voor rijen worden gebruikt, ik heb geen eenduidige afspraak gevonden. Accolades zou ik waarschijnlijk niet gebruiken, want die staan voor verzamelingen, waarbij de volgorde niet uitmaakt, terwijl de volgorde van de termen bij een rij juist wel van belang is.

De tweede mogelijkheid is een formule voor de n-de term van de rij. De rij a_n bevatte bijvoorbeeld alle even getallen. Dat kunnen we met een formule zo uitdrukken:

$$a_n=2n.$$

De index n geeft aan de hoeveelste term van de rij we berekenen. Willen we de eerste term weten, dan willen we a₁ weten, willen we de zevende, dan a₇. De zevende term berekenen we dan door in te vullen in het voorschrift.

$$a_7=2\cdot 7=14$$

Deze notatie is handig, omdat je er meteen elke willekeurige term van de rij mee kunt berekenen. Een andere mogelijkheid is een notatie met een recursieve definitie (een rij waarvan je elke term uit de vorige berekent). Met een recursieve definitie kunnen we de volgende term berekenen als we de huidige kennen. Dus als we de term a_n kennen, kunnen we de term a_{n + 1} berekenen.

Als we een rij recursief willen geven, moeten we twee dingen vermelden: welke term de eerste is en het voorschrift om de (n + 1)-de term te berekenen. Als we de rij van de even natuurlijke getallen recursief zouden willen geven, kunnen we dat zo doen:

$$a_1=2;a_{n+1}=a_n+2$$

Hoe rekenen we nu? We weten dat a₁ gelijk is aan twee. Nu vullen we voor n een één in en berekenen we dus a₂ door bij a₁ twee op te tellen. We krijgen vier, het tweede even getal. En zo verder.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Een recursieve definitie komt goed van pas als we een groter stuk van een rij willen genereren. Ze is juist niet handig als we een bepaalde term willen berekenen, want om het honderdste even getal te berekenen, moeten we eerst alle 99 even getallen berekenen die eraan voorafgaan.

De laatste mogelijkheid is om een rij met een grafiek te geven.

Nog even ter verduidelijking: een rij hoeft niet per se een eenvoudig voorschrift te hebben en hoeft geen “verstandig” rijtje getallen te zijn. Ook dit rijtje getallen is een rij, hoewel ze op het eerste gezicht geen dieper doel heeft:

$$a_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{}^3\log 54,0)$$

Grafiek van een rij

Rijen hebben andere grafieken dan gewone reële functies. Omdat hun domein uit de natuurlijke getallen bestaat, bestaat hun grafiek uit geïsoleerde punten.

Rekenkundige rij

Een rekenkundige rij is een eenvoudige rij waarbij het verschil tussen de opeenvolgende termen constant is. Elke volgende term is bijvoorbeeld drie groter of juist zeventien kleiner. Het getal waarmee opeenvolgende termen van de rij van elkaar verschillen, heet het verschil van de rij (we noteren het met d). In het eerste geval zou het verschil drie zijn, in het tweede min zeventien en bij de rij van de even getallen twee. Met een formule kunnen we een rekenkundige rij dus zo opschrijven:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

De algemene formule om de n-de term van een rekenkundige rij te berekenen is dan

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Als voorbeeld nemen we weer de even getallen, waarbij het verschil twee is en het eerste even getal ook twee is. Dan geldt: het tweede even getal krijgen we door bij het eerste twee op te tellen. Tellen we nog een keer twee op, dan krijgen we het derde even getal.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Als we bijvoorbeeld het zevende even getal willen berekenen, vullen we in de algemene formule zo in:

$$a_n=a_1+(n-1)d\to a_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Hoe stel je vast of een gegeven rij rekenkundig is? We trekken de formule voor de n-de term af van de formule voor de (n + 1)-de term en als we het verschil krijgen, is het een rekenkundige rij. Neem bijvoorbeeld de rij

$$a_n=2n+7.$$

Is deze rij rekenkundig? We beginnen met het opschrijven van de (n + 1)-de term:

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Nu trekken we deze twee uitdrukkingen van elkaar af:

$$\begin{array}{rcl}d& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d& =& 2n+2+7-2n-7\\ d& =& 2n-2n+7-7+2\\ d& =& 2\end{array}$$

We zien dat we na het aftrekken d = 2 krijgen, dus het is een rekenkundige rij met verschil twee.

Som van de termen van een rekenkundige rij

Vaak moeten we de som van de eerste termen van een rekenkundige rij weten. Hoe pakken we dat aan? Intuïtief ongeveer zo. We blijven bij de even getallen. Wat is de som van de eerste drie even getallen? Dus van de getallen 2, 4 en 6. Natuurlijk kunnen we ze gewoon een voor een optellen, maar dat willen we niet, we willen een formule.

We passen de rij aan: bij de eerste term tellen we twee op en van de laatste trekken we twee af. Dan krijgen we 4, 4, 4. We zien drie gelijke getallen, dus het is genoeg om de vier met het aantal termen te vermenigvuldigen, dus met drie. Dat is 4 · 3 = 12.

Bij vijf termen ziet het er zo uit: 2, 4, 6, 8, 10. Bij de uiterste termen tellen we vier op en trekken we vier af, bij de op een na uiterste termen twee.

$$\begin{array}{rcl}{a}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ a_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Nu hoeven we alleen nog 6 · 5 = 30 uit te rekenen. Wat zien we? We vermenigvuldigen steeds het aantal termen van de rij met de middelste term van de rij. In de rij 2, 4, 6 stond in het midden een vier en in de rij 2, 4, 6, 8, 10 stond in het midden een 6. Hoe bereken je in het algemeen de middelste term (noem hem p)? Dat is het gemiddelde van de eerste en de laatste term van de rij, dus

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

Bij die tweede rij is dat bijvoorbeeld

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

De uiteindelijke formule voor de som van de eerste n termen van de rij a_n ziet er dan zo uit:

$$S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$

De formule geldt ook voor een even aantal termen, hoewel we in de afleiding alleen een oneven aantal termen hebben gebruikt.

Het verschil berekenen

Hoe bereken je het verschil als je twee termen van de rij kent? We blijven bij de even getallen. Stel dat we deze twee termen van de rij kennen

$$a_3=6,a_7=14.$$

Hoe berekenen we het verschil? Eerst berekenen we het verschil tussen deze twee termen:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Nu hoeven we dit resultaat alleen nog te delen door het aantal stappen tussen de twee termen die we kennen, dus door het verschil van hun indices:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

Het verschil is twee. De uiteindelijke formule om het verschil d te berekenen als we de termen a_k en a_l van de rij kennen:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

De grafiek van een rekenkundige rij laat een constante stijging of een constante daling zien — de geïsoleerde punten in de grafiek liggen op één rechte lijn.

Meetkundige rij

Een meetkundige rij verschilt van de vorige, de rekenkundige rij, doordat twee opeenvolgende termen geen gelijk verschil hebben, maar een gelijk quotiënt. Dat quotiënt noemen we niet het verschil, zoals bij de rekenkundige rij, maar de reden (we noteren haar met q). We kunnen bijvoorbeeld een rij hebben met q = 10 en eerste term 5:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 5\\ a_2& =& a_1\cdot 10(=50)\\ a_3& =& a_2\cdot 10(=500)\\ a_4& =& a_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

In het algemeen geldt dus de formule:

$$a_{n+1}=a_n\cdot q$$

De formule voor de algemene term van een meetkundige rij ziet er zo uit:

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

De derde term van de vorige rij berekenen we bijvoorbeeld zo:

$$\begin{array}{rcl}{a}_3& =& a_1\cdot q^{3-1}\\ a_3& =& 5\cdot q^2\\ a_3& =& 5\cdot {10}^2\\ a_3& =& 500\end{array}$$

Meetkundige rijen kunnen we nog in twee groepen verdelen, namelijk naar de grootte van de reden. Als de absolute waarde van de reden kleiner is dan één, dan nadert de hele rij tot nul. Zo'n rij heet convergent. Als de absolute waarde van de reden daarentegen minstens één is, nadert de rij niet tot nul en heet ze een divergente rij. Voor een convergente rij geldt dan een eenvoudige formule voor de som van de hele reeks (die geldt alleen voor convergente rijen, want een divergente rij heeft geen eindige som):

$$S_a=\frac{a_1}{1-q}.$$

De formule voor de som van de eerste i termen van de meetkundige rij a_n:

$$S_i=a_1\cdot \frac{q^i-1}{q-1}$$

De afleiding van de formule kun je lezen op Wikipedia.

De grafiek van een meetkundige rij is, behalve als de reden gelijk is aan één of nul, een verzameling geïsoleerde punten die niet op één rechte lijn liggen. Een typische grafiek van een meetkundige rij ziet er zo uit:

Als de reden negatief is, heeft de grafiek twee takken: