Eigenschappen van functies

Een functie is een voorschrift dat aan elk getal x uit het domein M precies één y uit het bereik N toekent. Een functie schrijven we meestal op in de vorm y = f(x), of we kunnen haar expliciet noteren als f:y = x, waarbij de variabele x het argument van de functie is.

Domein en bereik

Bij elke functie moeten we ook haar domein bepalen. Dat is de verzameling van alle toegestane waarden van het argument x, dus alle waarden die de variabele x kan aannemen. Het domein van de functie f noteren we als D_f.

Een eenvoudig voorbeeld: bij f:y = x is het domein de hele verzameling van de reële getallen, D_f = ℝ. Een ander voorbeeld: $f:y=\frac{1}{x}$. In dit geval is het domein de verzameling van de reële getallen, maar deze keer zonder nul, omdat je niet door nul kunt delen en de uitdrukking dan geen betekenis zou hebben: D_f = ℝ ∖ {0}.

Het bereik is dan analoog de verzameling van alle toegestane y, dus de verzameling van alle elementen waar de functie f naar kan wijzen. Weer een eenvoudig voorbeeld: neem de functie f:y = x. Hier is het bereik de verzameling ℝ, omdat y elke waarde uit deze verzameling kan aannemen. Neem nu een andere functie, f:y = |x| (absolute waarde). Hier is het bereik gelijk aan het interval [0, → ⟩, omdat y nooit gelijk kan zijn aan bijvoorbeeld min vijf, want dat is volgens de definitie van de absolute waarde onmogelijk.

Als we het begrip afbeelding van een verzameling A naar een verzameling B aanhouden, dan is de verzameling A het domein en is de verzameling B de verzameling waarin de functie afbeeldt; het bereik is daar een deelverzameling van.

Monotonie van een functie

Monotonie is een eigenschap die aangeeft of een functie op een bepaald interval strikt stijgend, strikt dalend, niet-stijgend, niet-dalend, constant of niets van dit alles is.

Deze eigenschap kun je het best uit de grafiek aflezen: als je het gevoel hebt dat de grafiek daalt, gaat het om een dalende functie, en als de functie stijgt, is het een stijgende functie. Zo simpel :-). De definities zien er zo uit: neem een functie f en laat x₁, x₂ ∈ D_f. Dan zeggen we dat

• de functie f strikt stijgend is, als uit x₁ < x₂ volgt dat f(x₁) < f(x₂).
• de functie f strikt dalend is, als uit x₁ < x₂ volgt dat f(x₁) > f(x₂). (De definitie ziet er hetzelfde uit, maar in het eerste geval staat bij de functiewaarden < en in het tweede >)

Bekijk de grafiek van de strikt stijgende functie f(x) = ln(x):

We zien dat als we x₁, x₂ zo kiezen dat x₁ < x₂, dan ook geldt dat f(x₁) < f(x₂). Bekijk nu een andere grafiek, deze keer van de functie $f(x)=\frac{1}{x}$, die bijvoorbeeld op het interval ⟨0, → ⟩ strikt dalend is:

Hier zien we dat als x₁ < x₂, voor hun functiewaarden juist geldt dat f(x₁) > f(x₂). Hoewel x₁ kleiner is dan x₂, “levert” het een grotere functiewaarde op.

Dan nog de overige definities:

• De functie f is niet-dalend, als uit x₁ < x₂ volgt dat f(x₁) ≤ f(x₂). (De definitie lijkt op die van een strikt stijgende functie, alleen laten we toe dat de functie op een bepaald stuk een constante waarde heeft)
• De functie f is niet-stijgend, als uit x₁ < x₂ volgt dat f(x₁) ≥ f(x₂).
• De functie f is constant, als het bereik uit één enkel punt bestaat, oftewel als voor elke twee x₁, x₂ geldt dat f(x₁) = f(x₂).

Een voorbeeld van een niet-stijgende functie is de functie f(x) = |x|−x:

Merk op dat de functie op het interval ⟨ ← , 0⟩ daalt, maar op het resterende interval een constante functiewaarde (nul) heeft. Op het hele domein is het dus een niet-stijgende functie.

Even en oneven functies

Sommige functies kunnen onder bepaalde voorwaarden even of oneven zijn. Het makkelijkst is het om de grafiek van de functie te kennen, daaraan zie je het het snelst. Een even functie is namelijk symmetrisch ten opzichte van de y-as, terwijl een oneven functie symmetrisch is ten opzichte van de oorsprong (0, 0). Een voorbeeld van een even functie is y = x² en een oneven functie is bijvoorbeeld de functie y = 2x. De definities zien er zo uit — de functie f is

• even, als voor alle x ∈ D_f geldt dat f(x) = f(−x),
• oneven, als voor alle x ∈ D_f geldt dat −f(x) = f(−x).

Over even en oneven functies gaat een apart artikel: Even en oneven functies.

Injectieve functie

Een injectieve functie herken je eraan dat al haar functiewaarden uniek zijn: geen enkele functiewaarde komt twee keer voor. Definitie:

De functie f is injectief, als voor alle x₁, x₂ ∈ D_f geldt dat

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Als we twee verschillende x uit het domein van de functie kiezen, dan moeten hun functiewaarden altijd verschillend zijn.

Grafisch zie je dat, zoals altijd, heel eenvoudig. Als je een lijn evenwijdig aan de x-as door de grafiek trekt, moet die de grafiek in hooguit één punt snijden. Een voorbeeld van een injectieve functie is de lineaire functie y = 3x. Welke lijn je ook neemt, die snijdt de grafiek altijd in precies één punt. Het tegenovergestelde is bijvoorbeeld de functie sinus, waarvan de grafiek uit een soort golfjes bestaat. Als je een lijn evenwijdig aan de x-as trekt die de y-as in het punt $\frac{1}{2}$ snijdt, vind je oneindig veel snijpunten met de grafiek, en dus is dit geen injectieve functie.

Begrensde functie

Functies kunnen begrensd zijn, en wel naar boven begrensd, naar beneden begrensd of zowel naar boven als naar beneden — zo'n functie noemen we gewoon een begrensde functie. De functie f is naar boven begrensd als we een reëel getal A kunnen vinden dat groter is dan alle functiewaarden van de functie f. Analoog voor een naar beneden begrensde functie. De definities zijn dus:

• De functie f is naar boven begrensd, als er een A ∈ ℝ bestaat zodat voor alle x ∈ D_f geldt dat A > f(x).
• De functie f is naar beneden begrensd, als er een A ∈ ℝ bestaat zodat voor alle x ∈ D_f geldt dat A < f(x).

Grafisch kunnen we het ons zo voorstellen dat we een lijn evenwijdig aan de x-as (dus een horizontale lijn) zoeken die boven of onder de hele grafiek van de functie ligt.

In de afbeelding zien we de grafiek van de functie f(x) = x⁴, die naar beneden begrensd is. Merk op dat we helemaal niet het A hoeven te vinden dat het “dichtst bij” de grafiek ligt, het is genoeg om de lijn ergens onder de grafiek te leggen.

Minimum en maximum

De functie f heeft in het punt M van het domein een maximum, als in dit punt M de hoogste functiewaarde van alle functiewaarden van de functie wordt aangenomen. Analoog voor het minimum. Definities:

• De functie f heeft in het punt M ∈ D_f een globaal maximum, als voor alle x ∈ D_f geldt dat f(x) ≤ f(M) — kortom, dat de functiewaarde in het punt M het hoogst is. Als er maar één maximum bestaat, noemen we het een scherp maximum.
• De functie f heeft in het punt m ∈ D_f een globaal minimum, als voor alle x ∈ D_f geldt dat f(x) ≥ f(m) — de functiewaarde is het kleinst in het punt m.

In een grafiek vind je het maximum en minimum van een functie waarschijnlijk vrij makkelijk: je kijkt gewoon waar de functie het laagst of het hoogst is. Een functie hoeft natuurlijk niet per se een minimum of een maximum te hebben, of kan alleen een minimum of alleen een maximum hebben. Ook kan een functie alleen lokale extremen hebben, maar op het hele domein geen enkel extreem.

Als je minima en maxima moet vinden, gebruik dan afgeleiden. De precieze werkwijze staat beschreven in het artikel functieonderzoek.

Voorbeeld

Bepaal de eigenschappen van de functie aan de hand van de volgende grafiek:

• Het domein van deze functie is het interval [−4, 4].
• Het bereik is het interval [−2, 4].
• De functie lijkt misschien strikt stijgend, maar op het stuk [0, 2] heeft de functie een constante waarde, dus strikt stijgend kan ze niet zijn. Toch daalt de functie op geen enkel interval, daarom is het een niet-dalende functie.
• De grafiek van de functie is niet symmetrisch ten opzichte van de y-as en ook niet ten opzichte van de oorsprong van het assenstelsel, dus de functie is niet even en niet oneven.
• Is de functie injectief? We hebben al gezegd dat de functie op het stuk [0, 2] een constante waarde heeft, dus de functie kan niet injectief zijn. Voor verschillende x heeft ze dezelfde y.
• De functie is begrensd, en wel zowel naar boven als naar beneden. We kunnen een horizontale lijn vinden die boven de hele grafiek ligt en ook een die onder de hele grafiek ligt.
• De gegeven functie heeft ook een minimum en een maximum. Het minimum ligt in het punt m = −4 en het maximum in het punt M = 4.