Lineære likninger

En lineær likning er en likning som vi kan skrive om til formen ax + b = 0, der a ≠ 0. Et konkret eksempel kan være 2x + 4 = 0. Løsningen av denne likningen er tallet −2, noe man kan komme fram til ganske logisk. Hvis tallene var litt større, ville ikke en slik resonnering vært like enkel, så vi trenger en mer konkret framgangsmåte.

Grunnformen til en lineær likning

Mer presist er det en likning med én ukjent x som vi ved hjelp av ekvivalente omforminger kan skrive om til formen ax + b = 0, der a ≠ 0. Den ukjente er ikke opphøyd i en potens, satt under et rottegn og lignende. Likninger med ukjent i nevneren til en brøk kan vi bare skrive om til denne formen under forutsetning av at nevneren ikke er null. Derfor løser vi dem for seg, se lineære likninger med ukjent i nevneren. Se på eksempler på ulike lineære likninger:

$\begin{array}{rcl} 2 x + 7 & = & 0 \\ x - 2 & = & 74 \\ (x + 3) - (7 x \cdot 3) & = & - 12 x \\ \frac{x}{2} + \frac{3 x}{72} & = & x \cdot \frac{45}{8} + 1 \end{array}$

Som du ser, kan en lineær likning se veldig ulik ut. For at de skal være lette å løse, må vi først samle dem på én form, som vi kaller grunnformen:

$a x + b = 0,$

der x er den ukjente og symbolene a og b er vilkårlige reelle tall, som vi kaller koeffisientene i likningen. Tallet a må ikke være null, altså a ≠ 0. Uttrykket ax kaller vi førstegradsleddet, uttrykket b kaller vi konstantleddet.

Når vi løser en lineær likning, kommer vi ikke utenom ekvivalente omforminger, altså omforminger som ikke endrer løsningen av likningen. Uten dem kan man ikke løse mer sammensatte likninger. Vi kan skrive om likningen til grunnformen enten ved å omforme selve uttrykkene som står i likningen, eller nettopp med ekvivalente omforminger av likninger.

La oss gå tilbake til eksemplene ovenfor. Den første likningen, 2x + 7 = 0, har allerede grunnformen, så vi ser med en gang koeffisientene a = 2 og b = 7. Med den andre likningen, x − 2 = 74, er det ikke fullt så lett. Med en ekvivalent omforming legger vi tallet −74 til begge sider (eller trekker tallet 74 fra begge sider) og får x − 76 = 0. Det er grunnformen, med koeffisientene a = 1 og b = −76.

Den tredje likningen er langt fra grunnformen, men vi klarer den også. Først «lager» vi null på høyre side: Vi legger uttrykket 12x til begge sider. Høyre side blir null, fordi (−12x) + 12x = 0. Hele likningen ser slik ut:

$(x + 3) - (7 x \cdot 3) + 12 x = 0$

Nå gjenstår bare å fjerne parentesene og trekke sammen leddene med x.

$\begin{array}{rcl} (x + 3) - (7 x \cdot 3) + 12 x & = & 0 \\ x + 3 - 21 x + 12 x & = & 0 \\ - 8 x + 3 & = & 0 \end{array}$

Denne lineære likningen har grunnformen, og koeffisientene er a = −8 og b = 3.

I den siste likningen må vi bli kvitt brøkene. Derfor ganger vi hele likningen med tallet 72, som er delelig med alle nevnerne:

$72 \cdot \frac{x}{2} + 72 \cdot \frac{3 x}{72} = 72 x \cdot \frac{45}{8} + 72 \cdot 1$

Nå forkorter vi brøkene:

$36 x + 3 x = 9 x \cdot 45 + 72$

På venstre side trekker vi sammen, på høyre side ganger vi:

$39 x = 405 x + 72$

Det gjenstår et siste steg: Vi trekker 405x og 72 fra begge sider, og likningen har grunnformen:

$- 366 x - 72 = 0$

Vi fikk altså koeffisientene a = −366 og b = −72.

Hvordan løse en lineær likning

Når vi har en lineær likning på grunnformen, er den lett å løse. La oss vise det med et eksempel: 3x − 18 = 0. Hva må vi trekke tallet 18 fra for å få null? Jo, igjen tallet 18. For at uttrykket 3x − 18 skal være lik null, må uttrykket 3x være lik 18, for da får vi 18 − 18 = 0. Når er uttrykket 3x lik 18? Nøyaktig når x = 6, fordi 3 · 6 = 18.

Hvordan utleder vi en generell framgangsmåte av dette? Først må vi finne ut hva førstegradsleddet ax skal være lik. Det gjør vi ved å flytte konstantleddet over til høyre side av likningen, altså legge −b til likningen. Da får vi likningen på formen ax + b − b = −b, som er det samme som ax = −b. I det forrige eksempelet ville vi dermed fått 3x − 18 + 18 = 18, altså 3x = 18. Ikke glem at tallet b var b = −18, så når vi legger til −b, legger vi til −(−18), og det er lik +18.

Likningen har vi på formen ax = −b. Hvordan får vi x direkte? I eksempelet lette vi etter det x-et som gir 18 når vi ganger det med tre. Hva gjorde vi egentlig? Vi regnet ut 18/3 = 6. Vi tok altså uttrykket på høyre side (−b) og delte det på verdien a, i eksempelet på tre. Fra ax = −b får vi dermed

$x = \frac{- b}{a} = - \frac{b}{a}$

Hele framgangsmåten brukt på det første eksempelet ser slik ut:

$\begin{array}{rcl} 3 x - 18 & = & 0 / + 18 \\ 3 x & = & 18 / : 3 \\ x & = & 6 \end{array}$

Geometrisk betydning

Hvis vi skriver om en lineær likning til grunnformen, får vi en lineær funksjon på venstre side. Grafen til en lineær funksjon er en rett linje. Siden grunnformen til en lineær likning ser slik ut, ax + b = 0, er løsningen av denne likningen alle punkter der linjen (grafen til den lineære funksjonen) skjærer x-aksen (som samtidig er grafen til funksjonen f(x) = 0, altså høyre side).

Vi fant for eksempel at løsningen av likningen 3x − 18 = 0 er x = 6. Hva betyr det? At grafen til funksjonen 3x − 18 skjærer x-aksen i punktet x = 6.

Grafen til funksjonen y=3x-18 skjærer x-aksen i punktet x=6

La oss prøve å løse likningen 5x + 2 = 2x − 7 grafisk. Hvordan kan vi gå fram? Vi kan skrive om likningen til grunnformen, det vil si at vi legger til −2x, og får 3x + 2 = −7, og så legger vi til 7: 3x + 9 = 0. Nå tegner vi grafen til den lineære funksjonen y = 3x + 9 og finner ut når den skjærer x-aksen.

Grafen til funksjonen y=3x+9 skjærer x-aksen i punktet x=-3

Den andre måten er å ikke omforme likningen i det hele tatt, men la grafene til funksjonene på begge sidene av likningen bli tegnet. Vi tegner altså grafene til funksjonene f(x) = 5x + 2 og g(x) = 2x − 7.

Grafene til funksjonene f(x)=5x+2 og g(x)=2x-7

Disse to linjene skjærer hverandre i ett punkt, som er merket A. Hvilken førstekoordinat har dette punktet A? Igjen x = −3. Den grafiske løsningen av likningen 5x + 2 = 2x − 7 er dermed førstekoordinaten til skjæringspunktet mellom grafene til funksjonene på venstre og høyre side.

Løste eksempler

Første eksempel: Vi prøver å løse likningen 7x − 14 = 0. Situasjonen er enkel, likningen har grunnformen, så vi bruker bare framgangsmåten:

$\begin{array}{rcl} 7 x - 14 & = & 0 / + 14 \\ 7 x & = & 14 / : 7 \\ x & = & 2 \end{array}$

Andre eksempel: Løs likningen 2x + 10 = 0. Likningen har igjen grunnformen, du må bare passe på at b er positiv, og at du derfor får et negativt tall på høyre side etter omformingen:

$\begin{array}{rcl} 2 x + 10 & = & 0 / - 10 \\ 2 x & = & - 10 / : 2 \\ x & = & - 5 \end{array}$

Tredje eksempel: Løs likningen 15 − 3x = 0. Likningen har nesten grunnformen, vi trenger bare å få den ukjente x først. Da har likningen formen −3x + 15 = 0. Igjen må du passe på at vi her har et minus foran førstegradsleddet, noe vi ikke har hatt til nå. Omformingene blir imidlertid helt like:

$\begin{array}{rcl} - 3 x + 15 & = & 0 / - 15 \\ - 3 x & = & - 15 / : (- 3) \\ x & = & 5 \end{array}$

Vi kan også løse eksempelet litt annerledes, på en lengre måte. I stedet for å dele likningen rett på −3 kan vi først gange likningen med −1, slik at vi blir kvitt begge minustegnene. Så kan vi dele likningen på tre:

$\begin{array}{rcl} - 3 x + 15 & = & 0 / - 15 \\ - 3 x & = & - 15 / \cdot (- 1) \\ 3 x & = & 15 / : 3 \\ x & = & 5 \end{array}$

Fjerde eksempel: Løs den lineære likningen

$3 + \frac{x}{4} = \frac{x}{2}$

Denne likningen er litt mer sammensatt, fordi vi har brøker. Først må vi bli kvitt disse brøkene. Det beste er å gange hele likningen med det minste felles multiplum av alle nevnerne. Vi har to nevnere, 4 og 2. Det minste felles multiplum er 4. Hvis du ikke orker å regne det ut, kan du gange hele likningen med produktet av alle nevnerne, altså 4 · 2 = 8, men det er ikke den anbefalte framgangsmåten, fordi du gjør livet vanskeligere for deg selv lenger ned. Hvis vi ganger likningen med fire, blir vi kvitt brøkene ved å forkorte og forenkle dem etter tur:

$\begin{array}{rcl} 3 + \frac{x}{4} & = & \frac{x}{2} / \cdot 4 \\ 4 \cdot 3 + 4 \cdot \frac{x}{4} & = & 4 \cdot \frac{x}{2} \\ 12 + \frac{4 x}{4} & = & \frac{4 x}{2} \\ 12 + x & = & 2 x \end{array}$

Nå skriver vi om likningen til grunnformen: x − 12 = 0, og av denne likningen ser vi at x = 12.

Femte eksempel / tekstoppgave: Vi har to brødre, Henrik og Jakob. Jakob begynte å jobbe rett etter videregående, mens Henrik i tillegg tok høyere utdanning, som han studerte i til sammen fem år. Jakob fikk hver måned en lønn på 45 000 kr. Selv om Henrik utdannet seg innen rekreasjonsvitenskap med fordypning i å ligge på solseng, klarte han å få jobb i statlig forvaltning, der han fikk 55 000 kr i måneden. Hvor lang tid tar det før Henrik til sammen har tjent like mye penger som Jakob? For å presisere: På fem år har Jakob tjent 5 · 12 · 45000 kroner, mens Henrik etter fem år har null. Etter hvor mange måneder blir denne verdien lik?

Fra oppgaveteksten kan vi sette opp en lineær likning slik: Variabelen x står for antall måneder vi leter etter, der x = 0 betyr null måneder siden Henrik ble ferdig med studiene.

Først setter vi opp en funksjon som bestemmer Henriks inntekt avhengig av antall måneder. Hvis vi for eksempel er interessert i Henriks inntekt etter seks måneder, regner vi rett og slett ut at 55000 · 6 = 330000 kroner. Generelt kan vi skrive at etter x måneder har Henrik tjent 55000 · x kroner til sammen.

For Jakob blir det tilsvarende: 45000 · x, men vi må også legge til beløpet han tjente mens Henrik studerte. Henrik studerte i fem år, så Jakob tjente i løpet av studietiden 5 · 12 · 45000 kroner. Hele uttrykket for Jakob blir dermed: 5 · 12 · 45000 + 45000 · x.

Disse funksjonene setter vi i en likning, for vi er interessert i for hvilken x disse inntektene er like:

$5 \cdot 12 \cdot 45000 + 45000 \cdot x = 55000 \cdot x$

Likningen omformer vi enkelt ved å flytte alle x-ene over på én side av likningen:

$10000 x = 5 \cdot 12 \cdot 45000$

Og til slutt deler vi bare på 10000:

$x = 5 \cdot 12 \cdot 4, 5 = 270$

Etter 270 måneder har begge like mye penger. Jakob tjente i løpet av Henriks studietid hele 5 · 12 · 45000 = 2700000 kroner, pluss at han i løpet av de neste 270 månedene tjente 45000 · 270 = 12150000, noe som til sammen blir 2700000 + 12150000 = 14850000 kroner. Henrik jobbet bare disse 270 månedene og tjente i løpet av den tiden 55000 · 270 = 14850000 kroner. Vi ser at etter fem års studier og ytterligere 270 måneder har begge faktisk tjent like mye.

Flere eksempler

Regn ut følgende lineære likning:

$2 \cdot (x - 7) = 6$

Først ganger vi ut parentesen:

$2 x - 14 = 6$

Nå beholder vi uttrykket med den ukjente på venstre side og flytter alt det andre over på høyre side:

$2 x = 20$

… og til slutt deler vi på to.

$x = 10$

Regn ut likningen

$3 \cdot (3 - x) + 5 \cdot (x - 2) = 0$

Igjen ganger vi først ut parentesene:

$9 - 3 x + 5 x - 10 = 0$

Vi trekker sammen det vi kan, og flytter variablene til venstre side og resten til høyre side:

$\begin{array}{rcl} 9 - 3 x + 5 x - 10 & = & 0 \\ 2 x - 1 & = & 0 \\ 2 x & = & 1 \end{array}$

Til slutt deler vi hele likningen på to:

$x = \frac{1}{2}$

Kapitler: Lineære likninger, Lineære likninger med ukjent i nevneren, Lineære likninger med absoluttverdi, Lineær likning med parameter

« Forrige: Ekvivalente omforminger av ulikheter

Neste: Lineære likninger med ukjent i nevneren »