Intervall

Intervaller brukes mye i matematikken og er med i mange definisjoner. Et intervall er en mengde av punkter som avgrenses av to endepunkter. Videre skiller vi mellom åpne og lukkede intervaller.

Grunnleggende beskrivelse

Intervaller bruker vi også i dagligtale, for eksempel: «for feil øyenfarge kan du få en bot fra EU på mellom ti og tjue tusen kroner». I eksempelet er ordet «mellom» brukt, men matematisk sett er det snakk om et intervall. Nå dukker det opp lumske spørsmål: kan du få en bot på nøyaktig ti tusen kroner, eller regnes ikke endepunktet med? Hvor fint kan boten fastsettes? Kan boten være 18 541,97 kroner? Eller kan den for eksempel bare gå i trinn på hundre kroner? Altså enten 18 500 eller 18 600?

Alt dette løses av den matematiske skrivemåten. Der må vi si to viktige ting: hvilken mengde vi beveger oss i (i eksempelet — hundrevis? Tusenvis? Hele kroner?) og om endepunktene er med i intervallet (kan jeg få en bot på akkurat ti eller tjue tusen?).

Den gode nyheten er at vi i de aller fleste tilfeller i matematikken vil at intervallet skal arbeide med mengden av reelle tall, så hvis du møter et intervall uten at mengden er oppgitt, er det sikkert de reelle tallene.

Utgangsmengden har vi nå, men hvordan angir vi om vi vil ta hensyn til endepunktene? Intervaller skrives ved hjelp av parenteser. En vinkelparentes ⟨ eller ⟩ betyr at endepunktet ikke er med i intervallet, mens en hakeparentes [ eller ] betyr at endepunktet er med. Dette kaller vi åpenhet og lukkethet. Hvis endepunktet er med i intervallet, er intervallet lukket, og hvis det ikke er med, er det åpent.

Eksempler

Her er noen eksempler (alle i mengden av reelle tall, hvis ikke noe annet er sagt):

• [1, 2]   Lukket intervall fra én til to. Alle reelle tall mellom 1 og 2 hører til intervallet, inkludert 1 og 2.
• ⟨1, 2⟩   Åpent intervall fra én til to. Alle reelle tall mellom 1 og 2 hører til intervallet, men selve tallene 1 og 2 er ikke med.
• [0, 1⟩   Intervallet er lukket til venstre og åpent til høyre. Alle tall mellom null og én hører til intervallet, inkludert null, men 1 er ikke med i intervallet.
• ⟨p, q]   Intervallet er åpent til venstre og lukket til høyre. Alle tall mellom tallene p og q hører til intervallet, inkludert tallet q, men ikke tallet p.
• [0, → ⟩   Lukket til venstre og åpent til høyre. Hvis du har uendelig i intervallet, bruker du et åpent intervall på den siden, for uendelig har ikke noe endelig endepunkt, og et lukket intervall gir ingen mening der.
• [1, 5] ⊂ ℕ   Her kommer en endring: vi arbeider ikke med mengden av reelle tall, men med mengden av naturlige tall. Vi har et intervall som er lukket i begge ender, og det er i alt fem tall i dette intervallet: 1, 2, 3, 4 og 5.
• ⟨1, 5] ⊂ ℕ   Det samme tilfellet som nettopp, bare at intervallet er åpent til venstre, så 1 hører ikke til intervallet, og alle elementene i intervallet er: 2, 3, 4 og 5.

Intervall som mengde

Som du ser, er et intervall ikke noe annet enn en delmengde av mengden det er definert over. Derfor kan vi arbeide med intervaller som med mengder og utføre mengdeoperasjoner med dem. For eksempel kan en union se slik ut:

$$[0,5]\cup [5,10]=[0,10]$$

Pass på åpne intervaller, for der ville likheten ikke gjelde, siden 5 ikke er med i det nye intervallet:

$$⟨0,5⟩\cup ⟨5,10⟩\ne ⟨0,10⟩$$

Riktig kunne det for eksempel se slik ut:

$$⟨0,5⟩\cup ⟨5,10⟩=⟨0,10⟩-\{5\}$$

Når vi bruker et åpent intervall

Forskjellen mellom åpne og lukkede intervaller er viktig å forstå. Et vanlig bruksområde for åpne intervaller er for eksempel definisjonsmengden til logaritmen. Logaritmen kan brukes på ethvert positivt reelt tall, og det betyr at vi ikke kan bruke den på et negativt tall, men heller ikke på null. Hvordan skriver vi det?

$$D_{\ln }=⟨0,\to ⟩$$

Denne skrivemåten sier at vi kan bruke logaritmen på et hvilket som helst lite positivt tall, men ikke på null. Så for eksempel tallet 1 ligger i intervallet, og det gjør også 0,001, og likedan tallet 0,0000000001 eller 10⁻⁶⁶⁶. Men null ligger ikke i intervallet. På tilsvarende måte kunne vi skrive definisjonsmengden til en funksjon med en brøk, for eksempel den enkle f(x) = 1/x.

$$D_f=⟨\leftarrow ,0⟩\cup ⟨0,\to ⟩$$

Det angir mengden av reelle tall uten null. I ingen av intervallene står null der det er lukket, så derfor blir null heller ikke med i unionen. Men vi kan bruke et hvilket som helst lite positivt tall eller et hvilket som helst stort negativt tall (for negative tall gjelder at -0,001 er større enn -0,1, derfor et «hvilket som helst stort» tall og ikke et «hvilket som helst lite» tall).

Geometrisk tolkning

Intervaller viser vi vanligvis på tallinjen som linjestykker, og endepunktene velger vi etter om intervallet er lukket eller åpent. Hvis intervallet er lukket, er rundingen som markerer punktet, fylt, og hvis det er åpent, er den ikke fylt, den er bare en kontur, bare en sirkel.

Figuren nedenfor viser tre intervaller, alle fra to til seks, men de er ulike når det gjelder om endene er lukket. Etter tur vises disse intervallene: [2, 6], ⟨2, 6], ⟨2, 6⟩.