Kommutativ lov

Kommutativitet er en egenskap ved operasjoner som for eksempel addisjon. Vi kan legge merke til at det ved addisjon ikke spiller noen rolle hvilken rekkefølge tallene står i, så 3 + 5 er det samme som 5 + 3. Uansett hvilke to reelle tall a + b vi legger sammen, blir svaret det samme selv om vi bytter om på leddene: b + a. Hvis en operasjon oppfyller denne betingelsen, sier vi at den er kommutativ.

Et eksempel på en annen operasjon som er kommutativ, er multiplikasjon, for 2 · 6 gir samme resultat som 6 · 2, og det samme gjelder for to vilkårlige tall a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Et eksempel på en operasjon som ikke er kommutativ, er subtraksjon, for 7 − 4 er noe annet enn 4 − 7. I det første tilfellet får vi resultatet 3, i det andre får vi −3. Et annet eksempel er divisjon, for 2 / 5 er noe annet enn 5 / 2.

Pass likevel på andre egenskaper ved operasjoner, for eksempel regnerekkefølgen for multiplikasjon. Hvis vi har uttrykket 1 + 2 · 3, kan vi ikke si at det er det samme som 2 + 1 · 3. Multiplikasjon har nemlig forrang foran addisjon. Vi kan hjelpe oss med parenteser: uttrykket 1 + 2 · 3 er det samme som 1 + (2 · 3). Hvis vi vil bruke den kommutative loven for addisjon, kan vi det, men vi må ta med hele parentesen: 1 + (2 · 3) er lik (2 · 3) + 1, og det er lik (3 · 2) + 1 hvis vi i tillegg bruker den kommutative loven for multiplikasjon.

Mengdeoperasjoner og kommutativitet

Det er ikke bare operasjoner med tall som kan være kommutative, men for eksempel også operasjoner med mengder. For eksempel er snittet av mengdene A og B en kommutativ operasjon. Snittet av to mengder er «elementene som finnes i begge mengdene», altså

$$A\cap B=B\cap A$$

Akkurat det samme gjelder for unionen av mengdene A og B, der resultatet er «elementene som finnes i minst én av mengdene», og dermed:

$$A\cup B=B\cup A$$

Mengdedifferansen er for eksempel ikke kommutativ.

Vektorer

En annen kommutativ operasjon finner vi blant operasjonene med vektorer, og det er addisjon av vektorer — generelt er addisjon som regel en kommutativ operasjon. I dette tilfellet, hvis vi har to vektorer $\overrightarrow{u}$ og $\overrightarrow{v}$, gjelder at

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Grafisk viser følgende figur dette:

Summen $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ vises av «den øvre veien», der vi først bruker den røde vektoren $\overrightarrow{u}$ og først deretter den blå vektoren $\overrightarrow{v}$. Summen $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ vises av «den nedre veien», der vi først går langs den blå vektoren $\overrightarrow{v}$ og så langs den røde vektoren $\overrightarrow{u}$. Resultatet er likevel det samme, vektorene ender i samme punkt.

Du kan tenke deg det som om du gikk ut fra et sted og gikk femti meter mot nord og så tjue meter mot vest. Hvis du først gikk tjue meter mot vest og så femti meter mot nord, ville du havnet på samme sted. Slik gange er altså kommutativ.

Logikk

Blant de kommutative operasjonene finner vi også de logiske operatorene «og samtidig» (konjunksjon) og «eller» (disjunksjon). Det betyr at utsagnet «tallet 5 er et oddetall og samtidig et primtall» har samme gyldighet som utsagnet «tallet 5 er et primtall og samtidig et oddetall». På tilsvarende måte for disjunksjon: «tallet 6 er et primtall eller et partall» har samme gyldighet som utsagnet «tallet 6 er et partall eller et primtall».

Implikasjon er derimot ikke kommutativ, så utsagnet «hvis jeg vinner i lotto, blir jeg rik» er ikke det samme som «hvis jeg blir rik, vinner jeg i lotto».