Hvor kommer Eulers tall fra

Eulers tall er en av de mest kjente matematiske konstantene, sammen med for eksempel tallet pi, π. Vi skal se på hvordan vi kom fram til dette tallet, og hva det betyr.

På 1600-tallet interesserte den sveitsiske matematikeren Jacob Bernoulli seg for rentesrente. Tenk deg at vi har én krone som vi setter i en bank som tilbyr 100 % rente per år. Det er rent vanvidd fra bankens side, men hva gjør man ikke for matematikkens skyld. Hvor mye penger har vi på kontoen nøyaktig etter ett år? Vi har to kroner.

Hvordan ville situasjonen endret seg hvis banken tilbød 50 % rente som ble lagt til hvert halvår? Ville det vært gunstigere for oss eller mindre gunstig?

Etter det første halvåret ville vi hatt halvparten mer. «Halvparten mer» skriver vi i matematikk som $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. For x setter vi inn innskuddet vårt, altså én krone, og regner ut

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

Etter et halvt år har vi 1,5 kroner på kontoen. Etter det andre halvåret ville vi igjen hatt halvparten mer. Vi bruker samme formel, men for x setter vi inn den nye saldoen, altså 1,5:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Etter ett år har vi altså 2,25 kroner på kontoen. Hyppigere forrentning med lavere rente er med andre ord gunstig for oss.

Rente hver måned

Hva om banken tilbød rente hver måned, men renten sank til en tolvdel av den opprinnelige renten? Uff, nå får vi mye å regne ut. Hvilken saldo har vi etter den første måneden? Vi har «en tolvdel mer», som vi skriver som $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. Etter den første måneden har vi altså:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

Etter den andre måneden har vi

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Men legg merke til at i stedet for tallet 1,0833333 kan vi bruke skrivemåten $1\cdot (1+\frac{1}{12})$, for vi vet at disse tallene er like:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Etter den tredje måneden har vi på kontoen:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Som du ser, følger utregningen et bestemt mønster. Uttrykket i parentesen gjentas like mange ganger som månedens nummer. Det forrige uttrykket kan vi forenkle ved å skrive én parentes i stedet for tre like og opphøye den i tredje:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Og multiplikasjonen med én i begynnelsen er også overflødig, så den fjerner vi:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Hvis vi nå vil regne ut saldoen etter tolv måneder, bruker vi bare tallet 12 i eksponenten i stedet for tre:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

Etter tolv måneder har vi omtrent 2,6130352 kroner på kontoen. Det er ikke dårlig! Og det er mye bedre enn da vi hadde 100 % rente én gang i året.

Kontinuerlig rente

Vi trenger ikke stoppe ved månedene. Hvor mye ville vi hatt hvis vi la til rente hver uke, med en rente på $\frac{1}{52}$ av den opprinnelige renten? Siden vi allerede kjenner formelen, setter vi bare inn:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

Daglig rente?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Rente hver time? (Et år har 8760 timer)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

Vi ser at hver gang vi tar en lavere rente og legger den til oftere, har vi litt mer penger på kontoen til slutt. Men økningene blir ikke så store lenger. Slik kunne vi holdt på i det uendelige. Faktisk er det ikke noen dum idé, vi kunne lagt til rente hvert minutt, hvert sekund, hvert millisekund, hvert nanosekund… helt til vi legger til rente hele tiden. Da ville vi hatt en kontinuerlig, bitteliten rente som vi forrenter saldoen med i hvert eneste øyeblikk. Hvor mye penger ville vi hatt på kontoen etter ett år i et slikt tilfelle?

Tilbake til Eulers tall

Og det er spørsmålet Jacob Bernoulli prøvde å regne ut. Dessverre klarte han det ikke, og det klarte først den berømte matematikeren Leonhard Euler på 1700-tallet. Han regnet ut at vi etter ett år ville hatt på kontoen

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

kroner. Du ser at det ikke er så mye mer enn da vi la til renten hver time. Og siden det viste seg at denne saldoen, dette tallet, er svært viktig i ulike deler av matematikken, kalles det i dag Eulers tall, og vi skriver det med bokstaven e. Eulers tall er et irrasjonalt tall, altså et tall med uendelig, ikke-periodisk desimalutvikling. Akkurat som for eksempel tallet π. Du kommer derfor aldri til å se det i sin helhet. Likevel kan vi definere Eulers tall nøyaktig ved hjelp av grenseverdien til en funksjon:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Kilder og lenker

• En perfekt episode fra den engelske kanalen Numberphile om Eulers tall.