Uendelig

Uendelig er et abstrakt begrep som vi egentlig ikke kan forestille oss. Selve uendelig har ingen ende, og det er derfor det heter slik, men uendelig i generell forstand har heller ingen begynnelse (vi kan likevel presisere det, for eksempel er en halvlinje også uendelig, men har en begynnelse). Uendelig skrives vanligvis med den såkalte «liggende åtte» – ∞.

Vi regner med uendelig

Uendelig ligner delvis på null, som også er spesiell på mange måter, og som har egne regler. For eksempel kan du ikke dele på null, det vet nok hvert eneste lite barn (forresten, kjenner du denne vitsen? Hva er den beste unnskyldningen når du ikke har gjort matteleksa? «Jeg begynte ved en feil å dele på null, og så brant skriveboken opp …» ;o)).

På samme måte som alt ganger null er null, gjelder det også at alt ganger uendelig eller alt pluss uendelig er uendelig. Hvis du trekker et hvilket som helst høyt tall fra uendelig, blir det alltid uendelig igjen. Det samme gjelder hvis du prøver å dele uendelig. Uendelig er rett og slett så stort at selv om du trekker fra millioner hvert sekund, har du fortsatt uendelig igjen. Noen ganger er det litt vanskelig å forstå, for eksempel hvis vi har denne lille likningen: ∞ + 1 = ∞. Stemmer den eller ikke?

Logikken sier oss at venstre side av likningen er større, for hvis jeg legger til én til uendelig, må hele uttrykket være større enn bare uendelig. Det må det ikke :-). Som jeg allerede har sagt, er uendelig pluss hva som helst uendelig. Altså er uendelig pluss én uendelig, og uendelig er lik uendelig. Likningen stemmer.

Vi kan også finne en annen vei, via grenseverdier. La oss ta brøken 1/x og regne ut grenseverdien fra høyre for x→0⁺, og anta at skriveboken vår ikke har brent opp. En slik grenseverdi ville være lik uendelig. Hvis du legger til én i dette uttrykket, har du uttrykket (1+x)/x, og grenseverdien for x→0⁺ ville igjen være uendelig.

Moroa begynner når vi kombinerer flere uendeligheter. Hva er for eksempel uendelig minus uendelig? Logikken sier at vi trekker to like store tall fra hverandre, så svaret blir null. Jeg sa også at hvis vi trekker et hvilket som helst tall fra uendelig, blir resultatet igjen uendelig. Omvendt, hvis vi trekker uendelig fra et hvilket som helst tall, får vi minus uendelig. Så hvordan kommer vi oss ut av dette? Alle resultatene er i teorien mulige. Matematikken sier at uttrykket ∞ −∞ ikke er lik noe bestemt, det er et udefinert/ubestemt uttrykk. Det er et lignende eksempel som når du prøver å dele på null, det gir rett og slett ikke mening. Hvis du støter på et slikt ubestemt uttrykk, må du forme det om på en eller annen måte (for noen typer ubestemte uttrykk kan man for eksempel bruke l'Hôpitals regel [uttales «lopitals regel»]).

Flere udefinerte/ubestemte uttrykk:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

Forresten gjelder de grunnleggende reglene for fortegn, for eksempel er −1 · ∞ lik minus uendelig.

Vil du bli helt gal?

Da kan du gå løs på mengdelæren og regne ut hvilken mengde som er størst. Er for eksempel mengden av partall eller mengden av oddetall størst? Partall eller naturlige tall? Naturlige tall eller heltall? Partall eller heltall? Naturlige tall eller rasjonale tall? Svaret er at alle er like store. Selv om det kan virke rart (det må jo være flere heltall enn oddetall), er de like store mengder. Til gjengjeld er mengden av reelle tall større enn de nevnte mengdene. Det er ikke lett å bli klok på ;-)