Rasjonale tall

Rasjonale tall er alle tall som kan skrives som en kvotient av to hele tall, altså som en brøk.

Definisjon

Rasjonale tall er altså alle tall som kan skrives på formen

$$\frac{a}{b}a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0.$$

Kravet om at begge tallene er hele tall har en tydelig betydning. Hvis du velger et tall som ikke er rasjonalt, for eksempel π, og setter opp en brøk slik:

$$\frac{\pi }{1},$$

får du tilbake tallet π, som ikke er rasjonalt. Derfor må både nevneren og telleren være hele tall. Og siden vi ikke kan dele på null, må nevneren være forskjellig fra null.

Vi kan også si at rasjonale tall er tall med en endelig desimalutvikling og tall med en uendelig desimalutvikling der en del gjentar seg periodisk. Her er eksempler på rasjonale tall, først på brøkform:

$$\frac{1}{3},-\frac{5}{9},\frac{13}{29},\frac{4}{1},\dots$$

og så tall på desimalform: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…=$0,\bar{3}$

Periodisk skrivemåte

I eksempelet over hadde vi tallet 0,3333… Det er desimalutviklingen til brøken 1/3, og det er et tall med uendelig desimalutvikling. Likevel er det rasjonalt, fordi utviklingen er periodisk. Periodisk utvikling betyr at fra et visst punkt gjentar den samme sekvensen av sifre seg hele tiden. I vårt tilfelle gjentok treeren seg i det uendelige. Men det kan like gjerne være sekvensen 12345 som gjentar seg i det uendelige. Det er fortsatt et tall med periode, et rasjonalt tall.

Hvert tall med endelig desimalutvikling er altså rasjonalt. Hvert tall med uendelig desimalutvikling der en del gjentar seg periodisk, er også rasjonalt. Et tall med uendelig desimalutvikling der ingen del gjentar seg periodisk, er et irrasjonalt tall.

Perioden markerer vi enten med tre prikker eller, oftere, med en strek over sifrene som gjentar seg. Det kan være ett siffer som gjentar seg, men gjerne flere. Perioden kan begynne rett etter kommaet eller et stykke ut i desimalene. Alle disse tallene er periodiske:

$$\begin{array}{rclcl}7/3& =& \mathrm{2,333}33\dots & =& 2,\bar{3}\\ 16/11& =& \mathrm{1,454}545\dots & =& 1,\overline{45}\\ 11/6& =& \mathrm{1,833}333\dots & =& 1,8\bar{3}\end{array}$$

Skrivemåte og betydning

De rasjonale tallene skriver vi med bokstaven Q med doble buer: ℚ. Den kommer av det engelske «quotient», på norsk «kvotient», som betegner resultatet av en divisjon.

Rasjonale tall brukes til å angi en del av en helhet. Typiske eksempler er «halvparten» eller «en tidel». Det er betegnelser på en del av en helhet som vi kan skrive med rasjonale tall som kvotientene 1/2 og 1/10. I slike tilfeller angir nevneren helheten og telleren delen av helheten. Hvis telleren er lik nevneren, betyr det at vi har hele helheten. Slike deler regner vi ofte om til prosent.

Egenskaper

1. Rasjonale tall er en uendelig tellbar mengde.

• Rasjonale tall er lukket under addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Det betyr at når vi deler to rasjonale tall, får vi igjen et rasjonalt tall. Det er en forskjell fra de hele tallene, som ikke var lukket under divisjon.
• Rasjonale tall inneholder alle hele tall. Hvis alle rasjonale tall kan skrives som en brøk a/b, er det nok at b = 1, for da får vi alltid telleren tilbake når vi regner ut a/1 = a.
• Hvis vi tar to rasjonale tall a og b som oppfyller a < b, finner vi alltid et nytt rasjonalt tall q som oppfyller a < q < b. Med andre ord kan vi mellom to vilkårlige rasjonale tall alltid finne enda et rasjonalt tall. Det gjelder også i en sterkere versjon: mellom to vilkårlige rasjonale tall finnes det uendelig mange andre rasjonale tall.
• En følge av forrige setning er at det ikke finnes noe minste positive (eller største negative) rasjonale tall. Vi kan vise det med et motsigelsesbevis. La m være det minste positive rasjonale tallet. Da skal vi ikke kunne finne et mindre positivt rasjonalt tall. Men ifølge forrige setning gjelder 0 < m, og dermed finnes det et rasjonalt tall s slik at 0 < s < m. Vi har funnet et tall s som er større enn null (positivt) og mindre enn tallet m. Det er i strid med at m er det minste positive rasjonale tallet.

Regneoperasjoner med rasjonale tall

Alle vanlige grunnleggende regneoperasjoner er beskrevet i artikkelen om brøk.

Omregning av periodisk tall til brøk

Siden et periodisk tall også er et rasjonalt tall, må det kunne skrives som en brøk. Vi viser hvordan. Til å begynne med har vi det periodiske tallet a = 0,333… Vi skriver

$$a=0,\bar{3}$$

Nå bruker vi vanlige ekvivalente omforminger av likninger og multipliserer hele likningen med ti:

$$10a=3,\bar{3}$$

På høyre side har treeren flyttet seg til enerplassen, mens det fortsatt står uendelig mange treere etter kommaet. Nå trekker vi a fra likningen, altså trekker vi fra 0,333…, og da blir vi kvitt den uendelige utviklingen.

$$9a=3$$

Dette trinnet var kanskje litt vanskelig, så jeg skriver det ut. Vi gjorde denne operasjonen:

$$\begin{array}{ccccccc}& 3& ,& 3& 3& 3& \dots \\ -& 0& ,& 3& 3& 3& \dots \\ =& 3& ,& 0& 0& 0& \dots \end{array}$$

Likningen 9a = 3 deler vi bare på ni, og så får vi resultatet:

$$a=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

La oss prøve et eksempel til:

$$a=\mathrm{1,454}545\dots =1,\overline{45}$$

Framgangsmåten blir litt annerledes. I forrige eksempel hadde vi en periode med lengde én. Strengt tatt kunne perioden være så lang vi ville, siden de samme tallene hele tiden gjentok seg, men det passet oss å ha den med lengde én. Nå har vi en periode med lengde to. Vi kunne igjen ha tatt en periode med lengde seks, men det passer ikke. For å trekke fra akkurat én hel periode må vi denne gangen multiplisere med hundre:

$$100a=145,\overline{45}$$

Vi trekker fra én a:

$$99a=144$$

Og deler på 99:

$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$

Hvis du prøver å dele disse tallene på kalkulatoren, får du nettopp 1,454545… De fleste kalkulatorer runder av, så det kan hende at de viser et litt annet resultat.

Et artig tilfelle med 0,9999…

Til slutt, bare for moro skyld, regner vi om det periodiske tallet

$$a=0,\bar{9}$$

til en brøk. Vi multipliserer med ti:

$$10a=9,\bar{9}$$

Vi trekker fra a:

$$9a=9$$

Vi deler på ni:

$$a=1$$

Vi ser at vi fikk én, altså er tallet 0,999… lik tallet 1.

Lenker

• Wikipedia