Komplekse tall

Komplekse tall er en utvidelse av de reelle tallene. Blant de reelle tallene kan vi utføre de fleste vanlige operasjonene, som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon (bortsett fra divisjon med null). Blant de reelle tallene kan vi også ta kvadratrot, men bare av ikke-negative tall. Det er et hull, for eksempel når vi løser en andregradslikning og får negativ diskriminant. Dette hullet tetter de komplekse tallene.

Hva er et komplekst tall

De komplekse tallene skiller seg fra de vanlige tallene først og fremst ved at de har to deler, en reell og en imaginær. Et komplekst tall er et ordnet par av tall (x, y), der tallet x er realdelen og tallet y er imaginærdelen. Hvis realdelen er null, er det et rent imaginært komplekst tall. Tallene x og y er selv reelle.

Mengden av komplekse tall skriver vi med den store bokstaven C: ℂ.

Likhet mellom komplekse tall: i motsetning til vanlige tall har komplekse tall to komponenter. Hvis to komplekse tall skal være like, må de derfor være like i begge komponentene. Disse komplekse tallene er altså forskjellige fra hverandre: (2, 3) ≠ (0, 3) ≠ (2, 0). De komplekse tallene z₁ = (1, 2) og z₂ = (1, 2) er like: z₁ = z₂.

Kartesisk form og imaginær enhet

Komplekse tall skriver vi oftere på kartesisk form, som ser slik ut. Det komplekse tallet (x, y) har kartesisk form x + yi, der i kalles den imaginære enheten. For andre potens av den imaginære enheten gjelder en svært viktig sammenheng:

$$i^2=-1$$

Denne likningen kommer vi til å bruke ofte videre, sammen med andre potenser. Høyere potenser kan nemlig regnes ut på vanlig måte. Hvis vi for eksempel vil forenkle i³, kan vi etter reglene for regning med potenser dele opp uttrykket i i² · i. Vi vet allerede at i² er lik minus én. Den andre i-en kan vi ikke dele opp på noen måte, så vi får: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

På samme måte for i⁴. Det kan vi dele opp i i² · i², der i² = −1, så vi får: −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Altså er i⁴ = 1. Dette faktumet kan vi bruke når vi regner ut enda høyere potenser av den imaginære enheten. Hvis vi for eksempel regner ut i⁷, kan vi dele det opp i i⁴ · i³. Vi vet at i⁴ = 1, så vi får: 1 · i³. Og vi vet at i³ = −i. Resultatet er: 1 · (−i) = −i.

Addisjon og multiplikasjon

Komplekse tall kan vi legge sammen og multiplisere. Når vi legger sammen to komplekse tall z₁ og z₂, legger vi bare sammen realdelene og imaginærdelene hver for seg:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Eksempel: z₁ = 3 + 7i og z₂ = 5 + 8i. Summen blir slik: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

Produktet av to komplekse tall er litt mer komplisert, men vi kan skrive det ut som vanlig multiplikasjon av parenteser. Grunnformelen ser slik ut:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Og hvordan kom vi fram til den? Vi prøver å multiplisere z₁ · z₂ på samme måte som vi multipliserer vanlige parenteser. Da får vi:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Siden i² = −1, får vi etter å ha forenklet det siste leddet:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

Og nå samler vi bare leddene uten den imaginære enheten og leddene med den:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Eksempel. Vi prøver å multiplisere tallene 5 + 6i og 4 + 7i. Da får vi:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Motsatte, omvendte og komplekskonjugerte tall

• Det motsatte tallet til det komplekse tallet x + yi har formen −x − yi. På samme måte som for reelle tall får vi det motsatte tallet ved å multiplisere det gitte komplekse tallet med minus én. Eksempel: det motsatte tallet til 2 + 7i er −2 − 7i. Det motsatte tallet til −5 + 8i er 5 − 8i osv.

• Det omvendte tallet til det komplekse tallet x + yi har formen $\frac{1}{x+yi}$. Det omvendte tallet til tallet 4 − 2i har altså formen $\frac{1}{4-2i}$.

• Det komplekskonjugerte tallet til tallet x + yi har formen x − yi. Det skrives vanligvis med en strek over, slik: $\bar{z}$, eller med en stjerne, z*. Et slikt tall er det komplekskonjugerte tallet til det komplekse tallet z. Det komplekskonjugerte tallet til tallet 2 + 9i er tallet 2 − 9i.

Subtraksjon og divisjon

Nå som vi har definert det motsatte og det omvendte tallet, kan vi også definere subtraksjon og divisjon. Hvis vi vil trekke fra to komplekse tall, z₁ − z₂, legger vi det motsatte tallet til z₂ til tallet z₁. I praksis får vi en enkel formel:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

På samme måte gjør vi divisjon z₁ / z₂ om til multiplikasjon ved at vi multipliserer z₁ · z₂′, der z₂′ er det omvendte tallet til tallet z₂.

Absoluttverdi

Absoluttverdien av et komplekst tall z regner vi ut med formelen:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(I kvadratroten er det andre z det komplekskonjugerte tallet til z.) Betydningen av denne formelen ser vi tydelig i den geometriske framstillingen av komplekse tall.

Hvert komplekst tall med absoluttverdi lik én kalles et komplekst enhetstall. Eksempler på komplekse enhetstall: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Egenskaper ved absoluttverdien:

• Absoluttverdien av et komplekst tall er et reelt tall.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z*|, der z* er det komplekskonjugerte tallet.