Kvadratkomplettering

Med kvadratkomplettering kan vi skrive andregradsfunksjonen ax² + bx + c på formen (x + m)² + n.

Algoritmen for kvadratkomplettering

Algoritmen bruker den kjente formelen for å kvadrere en parentes:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

Fremgangsmåten er denne. Foreløpig antar vi at a = 1. La oss si at vi har andregradsfunksjonen f(x) = x² + 6x + 1 og vil skrive den på formen (x + m)² + n. Først bestemmer vi verdiene i den første parentesen: (x + m)². Hvilket tall må vi sette inn for m? Ifølge formelen må likheten (x + m)² = x² + 2mx + m² gjelde. I funksjonen f har vi x², og det stemmer. Men på plassen til førstegradsleddet har vi 6x. Hvilken verdi må vi velge for m for at 6x = 2mx skal gjelde? Åpenbart må m = b/2 = 6/2 = 3. For m setter vi altså alltid inn halvparten av verdien av tallet b i andregradsfunksjonen.

Dermed har vi fått formen (x + 3)² + n. Det gjenstår å bestemme tallet n. Vi vet allerede at (x + m)² = x² + 2mx + m². Delen x² + 2mx er den vi vil ha, men uttrykket m² er det for mye av, for det finnes ingen tilsvarende i funksjonen f. Derfor trekker vi m² fra det nåværende resultatet. Da får vi formen (x + m)² − m², som etter utmultiplisering er lik x² + 2mx + m² − m². Etter subtraksjonen har vi bare x² + 2mx igjen.

I funksjonen f har vi imidlertid også konstantleddet c. Det legger vi bare til. Da får vi formen (x + m)² − m² + c, etter utmultiplisering x² + 2mx + m² − m² + c og etter forenkling x² + 2mx + c. Siden m = b/2, er dette uttrykket lik x² + bx + c, så når vi ganger ut uttrykket (x + m)² − m² + c, får vi tilbake den opprinnelige funksjonen, og vi har regnet riktig. (Jeg gjentar at a = 1, så det mangler ikke noe der.)

For eksempelfunksjonen f får vi dermed uttrykket på kvadratform (x + 3)² − 9 + 1 = (x + 3)² − 8. Vi kan prøve å gange ut igjen:

$$\begin{array}{rcl}(x+3{)}^2-8& =& x^2+6x+9-8\\ & =& x^2+6x+1\end{array}$$

Kvadratkomplettering brukes for eksempel når du vil tegne grafen til en andregradsfunksjon.

Når a ≠ 1

Når vi har en funksjon der a = 1 ikke gjelder, går vi fram slik at vi faktoriserer ut tallet a fra hele funksjonen og fortsetter slik vi allerede kan. Eksempel:

$$2x^2+16x-12=0$$

Fra hele uttrykket faktoriserer vi ut 2:

$$2\cdot (x^2+8x-6)=0$$

Funksjonen inni parentesen kan vi allerede skrive om til et kvadrat.

$$x^2+8x-6=(x+4{)}^2-16-6=(x+4{)}^2-22$$

Dette resultatet setter vi inn i den forrige likningen og får:

$$2\cdot (x^2+8x-6)=2((x+4{)}^2-22)=2(x+4{)}^2-44$$