Algebraiske tall

Et tall som er en rot i et polynom med heltallige koeffisienter, kaller vi et algebraisk tall. Hva betyr det i praksis? Vi kan ta et hvilket som helst tall og leke en matematisk lek med det. Målet med leken er å ta et tall x og redusere det til null, men vi får bare bruke addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og potenser, og vi får bare bruke hele tall i omformingene. Med eksempler blir det tydeligere.

Vi starter med tallet 42. Hvordan kan vi omforme det slik at vi får null? Vi kan trekke fra det hele tallet 42 og få null (å multiplisere med null er ikke tillatt):

$$42-42=0$$

Siden vi klarte å redusere tallet 42 til null, er tallet 42 algebraisk. Det var ganske trivielt. Hva med en brøk, for eksempel $\frac{7}{3}$? Siden vi bare kan arbeide med hele tall, kan vi ikke trekke fra $\frac{7}{3}$ for å få null. Vi må gjøre det på en annen måte. Først multipliserer vi brøken med tre:

$$3\cdot \frac{7}{3}=\frac{3\cdot 7}{3}=7$$

Vi fikk et helt tall, og det kan vi allerede gjøre om til null: vi trekker fra sju. Da kan vi skrive

$$3\cdot \frac{7}{3}-7=0$$

og vi kan si at brøken sju tredeler også er et algebraisk tall. La oss ta et enda mer komplisert tall, kvadratroten av to: $\sqrt{2}$. Ingen multiplikasjon eller addisjon hjelper oss her, vi må først bli kvitt kvadratroten. Vi opphøyer uttrykket i andre:

$${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$$

Vi fikk et helt tall som vi kan gjøre om til null, vi trekker fra to:

$${\left(\sqrt{2}\right)}^2-2=0$$

Også kvadratroten av to, som er et irrasjonalt tall, er et algebraisk tall. Så langt ser det ut til at alle tall vi prøver, er algebraiske. Hva med for eksempel Eulers tall e? Det er også irrasjonalt, så det har en uendelig desimalutvikling uten gjentakelse, omtrent som kvadratroten av to. Den tilnærmede verdien er 2,71. I motsetning til kvadratroten av to finnes det imidlertid ingen måte å redusere det til null med de operasjonene vi har tillatt oss. Uansett om vi legger noe til Eulers tall, multipliserer det eller opphøyer det, får vi alltid bare et nytt irrasjonalt tall. Eulers tall er derfor ikke et algebraisk tall, hurra!

På samme måte er pi, 3,14, ikke et algebraisk tall.

Tall som ikke er algebraiske, kaller vi transcendente.

Nøyaktig definisjon

For hvert algebraisk tall må det altså finnes et polynom med heltallige koeffisienter som har akkurat dette algebraiske tallet som rot. En rot i et polynom er et tall som gjør at polynomet blir lik null. Hvis vi går tilbake til eksemplene over, får vi for tallet 42 likningen

$$x-42=0$$

og siden roten i polynomet x − 42 er nettopp x = 42, betyr det at 42 er et algebraisk tall. For det rasjonale tallet $\frac{7}{3}$ ville det vært likningen

$$3x-7=0$$

fordi roten i polynomet 3x − 7 er nettopp $x=\frac{7}{3}$. Og til slutt, for kvadratroten av to får vi

$$x^2-2=0$$

fordi roten i polynomet x² − 2 er nettopp kvadratroten av to. For Eulers tall eller for pi klarer vi ikke å sette opp noen slik likning eller noe slikt polynom, for de er transcendente tall og ikke algebraiske tall.

Eksempler på algebraiske tall

• Hvert helt tall er også algebraisk.
• Hvert rasjonalt tall (brøk) er algebraisk.
• Irrasjonale tall er mer kompliserte. Som vi har sett, er noen irrasjonale tall algebraiske, for eksempel kvadratroten av to, men noen er det ikke, for eksempel Eulers tall.
• Hver n-te rot av et helt tall er algebraisk.
• Det gylne snitt er et algebraisk tall.

Lenker og kilder

• Transcendental Numbers - Numberphile