Hele tall

Hele tall er tall uten desimaldel. De omfatter de naturlige tallene, de motsatte (negative) tallene til dem og null.

Egenskaper

De hele tallene danner en mengde som inneholder tallene …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Mengden skriver vi vanligvis med bokstaven Z med en dobbel midtstrek: ℤ, etter det tyske «Zahlen» (tall). De hele tallene danner en uendelig og tellbar mengde.

De hele tallene har for eksempel disse egenskapene:

1. De er lukket under addisjon og multiplikasjon, akkurat som de naturlige tallene. Det betyr at hvis vi legger sammen to hele tall, får vi igjen et helt tall.
2. I motsetning til de naturlige tallene er de hele tallene også lukket under subtraksjon. De naturlige tallene var det ikke, for differansen mellom to naturlige tall kunne bli negativ. Det gjør ikke noe for de hele tallene, for de inneholder de negative tallene.
3. Akkurat som de naturlige tallene er de ikke lukket under divisjon. Fortsatt gjelder at vi kan få et tall som ikke er helt, når vi deler.
4. For hvert helt tall c finnes det et motsatt tall −c. Hvis vi har tallet 10, er det motsatte tallet −10. For 55 er det −55. Det samme gjelder for negative tall: for −13 er det motsatte tallet 13. Hvis vi har et helt tall c og det motsatte tallet −c, er summen av dem null: c + (−c) = 0. Derfor er det motsatte tallet til null igjen null.

Partall og oddetall

Vi kan dele de hele tallene inn i partall og oddetall. Partall er tall som er delelige med to, altså 2, −4, −8, 40, 124 osv. Oddetall har rest én når vi deler dem med to, altså tallene −1, 1, 5, 19, −41 osv. Merk at vi faktisk skiller mellom partall og oddetall også blant de negative tallene (tallet −5 er altså et oddetall), og at null er et partall.

Egenskaper for addisjon: hvis du legger sammen to partall, får du igjen et partall. Flere egenskaper står i tabellen under:

$$\begin{array}{rcl}\text{partall}+\text{partall}& =& \text{partall}\\ \text{partall}+\text{oddetall}& =& \text{oddetall}\\ \text{oddetall}+\text{oddetall}& =& \text{partall}\end{array}$$

En tilsvarende tabell for multiplikasjon:

$$\begin{array}{rcl}\text{partall}\cdot \text{partall}& =& \text{partall}\\ \text{partall}\cdot \text{oddetall}& =& \text{partall}\\ \text{oddetall}\cdot \text{oddetall}& =& \text{oddetall}\end{array}$$

Divisjon med rest

Også i mengden av hele tall kan vi, på samme måte som for de naturlige tallene, definere divisjon med rest. Vi må bare håndtere de negative tallene. Derfor ser grunndefinisjonen denne gangen slik ut:

$$a=q\cdot b+r,a,q\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}-\left\{0\right\},0\le r<|b|$$

I dette uttrykket deler vi a:b. Tallet q er kvotienten, og tallet r er resten. Tallet b må være forskjellig fra null, for vi kan ikke dele på null. Resten må være ikke-negativ og mindre enn absoluttverdien av b, og det sikrer at kvotienten og resten blir entydige.

Hvordan ser en slik divisjon ut? La oss prøve å regne ut −21:4. Da blir tallene slik:

$$-21=-6\cdot 4+3$$

Kvotienten er −6, og resten er 3. Det kan overraske deg at kvotienten er en annen enn når alle tallene er positive:

$$21=5\cdot 4+1$$

Her er kvotienten 5 og resten 1. Forskjellen ligger nettopp i de negative tallene. For positive tall leter vi i første trinn etter det største hele tallet som ikke er større enn 21 og som er delelig med fire uten rest. Det er tallet 20. Derfor regner vi ut 20:4 = 5 og får femmeren vår. Resten får vi som differansen 21 − 20.

For negative tall går vi fram på samme måte. Vi leter etter det største tallet som ikke er større enn −21 og som er delelig med 4 uten rest. Tallet −20 er imidlertid større enn −21. Derfor er det største tallet som ikke er større enn −21 og som er delelig med 4 uten rest, tallet −24. Resten får vi igjen som differansen −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

Beslektede artikler

• Delelighet med 2
• Delelighet med 3
• Delelighet med 4
• Delelighet med 5
• Delelighet med 6
• Delelighet med 7
• Delelighet med 8
• Delelighet med 9
• Delelighet med 10
• Delelighet med 11

Lenker

• Wikipedia