Raízes

A raiz é uma função inversa parcial da potência. Na maioria das vezes trabalhamos com a raiz quadrada, que procura o número que, multiplicado por ele mesmo, dá o número original do qual extraímos a raiz.

Raiz quadrada

Para a raiz usa-se o símbolo $\sqrt{}$, e, para não precisarmos escrever o argumento da raiz entre parênteses assim: $\sqrt{}$(25), traça-se sobre todo o argumento (a expressão da qual queremos extrair a raiz) uma linha horizontal, assim: $\sqrt{25}$.

No início vamos tratar apenas da raiz quadrada de um número real. Nós a definiríamos assim:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Se você multiplica a raiz do número a pela raiz do número a, obtém o número a. Assim, para o número 9 a raiz seria igual a 3, porque vale 3 · 3 = 9.

Também podemos escrever a expressão anterior assim:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

É apenas outra escrita da multiplicação anterior, a saber, por meio da potência.

O fato essencial é que essa equação vale apenas para os a que pertencem ao domínio da raiz. Isso porque não podemos extrair a raiz quadrada de um número negativo. Podemos extrair a raiz de qualquer número positivo, podemos extrair a raiz de zero, mas não sabemos extrair a raiz de um número negativo? Por que isso não dá?

Suponha que queremos calcular a raiz de −25. Temos, em princípio, duas possibilidades de número a escolher. Ou positivo, ou negativo. Se escolhemos positivo, temos 5 · 5 = 25. Obtivemos 25, mas nós queremos −25. Tentamos então escolher −5; só que, depois de multiplicar, temos de novo 25. Em suma: se você multiplica dois números negativos, obtém um número positivo. O mesmo quando multiplica dois números positivos. Você teria de multiplicar −5 · 5 para obter −25 e isso não vale, pois você multiplica dois números diferentes, ainda que difiram apenas no sinal. Por isso não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo.

Raiz de outros índices

Assim como podemos elevar uma expressão ao quadrado, ao cubo, à quarta, podemos ter também a raiz cúbica, a raiz quarta e, por fim, a raiz n-ésima de um número real. Isso se escreve normalmente sobre o “bico” do radical, assim:

$$\sqrt[5]{32}$$

Essa escrita indica a raiz quinta do número trinta e dois. Definimos a raiz n-ésima por meio da potência n-ésima assim:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in {\mathbb{N}}^{\ast },a,b\ge 0$$

Se no lugar de n substituímos dois, obtemos a raiz quadrada, como a definimos há pouco. De forma abreviada, poderíamos defini-la também assim:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Vale a convenção de que, para a raiz quadrada, não precisamos escrever o dois; ou seja, estas escritas são equivalentes:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Assim, por exemplo, para a raiz quarta valeria:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

E um exemplo concreto:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

E, ao contrário, vale 4 · 4 · 4 = 64.

Raiz de um número negativo

Já sabemos que não existe raiz quadrada de um número negativo, porque a², em que a é um número real, nunca será negativo. De todo modo, nas raízes de outros índices já não multiplicamos apenas duas vezes, então podem ocorrer casos em que a raiz n-ésima de um número negativo existe. Como é, então?

O que nos incomodava era que, quando multiplicamos duas vezes um número negativo, obtemos um número positivo. Para o resultado −25 precisávamos do produto −5 · 5. Mas o que acontece quando multiplicamos três números negativos? Depois de multiplicar os dois primeiros números negativos, temos um número positivo. Mas, depois de multiplicar pelo último número negativo, temos de volta um número negativo. Se multiplicássemos mais uma vez (quatro vezes no total), estaríamos de volta aos números positivos.

A lição é que, se multiplicamos n vezes um número negativo, quando n é par o produto resultante é positivo, e quando é ímpar o produto é negativo. Daí concluímos que existe a raiz n-ésima de um número negativo quando n é ímpar. Exemplo:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Conversão em potência

Podemos converter facilmente as raízes em potências, e isso se faz com frequência, porque assim fica mais fácil trabalhar com elas. Vale a seguinte relação:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Se temos a raiz n-ésima de a, é o mesmo que elevar a a 1/n. Isso pode ser útil também quando você precisa digitar em algum lugar uma raiz de índice maior que dois. Muitas vezes isso não é possível diretamente, mas dá para digitar uma fração no expoente. Se você quer ver o gráfico da raiz quarta, peça o gráfico da função

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Com mais frequência se usa a conversão da raiz quadrada:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Fórmulas para raízes

Como a raiz pode ser facilmente convertida em potência, as expressões com raiz herdam as fórmulas das potências em geral. Assim, valem as seguintes relações:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Ao mesmo tempo, valem estas relações básicas:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Simplificação de radicais

A simplificação de radicais é uma técnica usada para simplificar raízes e utiliza uma das fórmulas anteriores:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Isso porque podemos decompor algumas expressões debaixo da raiz em um produto, depois escrever como duas raízes e, por fim, extrair a raiz de uma delas. Um exemplo típico pode ser este:

$$\sqrt{4x}$$

Pela fórmula anterior, podemos reescrever essa expressão assim:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

E agora podemos extrair a raiz do quatro:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

De modo parecido podemos reescrever também um número comum, se queremos manter a forma exata. Então, um exemplo:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Calculadora

Se você precisar calcular uma raiz, pode usar a nossa calculadora de raízes 🧮.