Propriedades das funções

Uma função é uma regra que associa a cada número x do domínio M exatamente um y do conjunto imagem N. Em geral, escrevemos a função na forma y = f(x), ou podemos expressá-la explicitamente como f:y = x, em que a variável x é o argumento da função.

Domínio e conjunto imagem

Para toda função precisamos também determinar o seu domínio, que é o conjunto de todos os valores admissíveis do argumento x, ou seja, todos os valores que a variável x pode assumir. O domínio da função f indicamos por D(f).

Um exemplo simples: f:y = x; aqui o domínio é igual a todo o conjunto dos números reais, D(f) = ℝ. Outro exemplo: $f:y=\frac{1}{x}$; nesse caso, o domínio é o conjunto dos números reais, só que dessa vez excluindo o zero, porque não é possível dividir por zero, e a expressão não faria sentido: D(f) = ℝ ∖ {0}.

O conjunto imagem é, analogamente, o conjunto de todos os y admissíveis, ou seja, o conjunto de todos os elementos para os quais a função f pode apontar. De novo, um exemplo simples: seja a função f:y = x. Aqui o conjunto imagem é o conjunto ℝ, porque y pode assumir qualquer valor desse conjunto. Mas tomemos outra função, f:y = |x| (valor absoluto). Aqui o conjunto imagem já será igual ao intervalo [0, +∞[, porque nunca pode acontecer de y ser igual, por exemplo, a menos cinco, já que isso não é possível pela definição de valor absoluto.

Se nos ativermos ao conceito de função de um conjunto A em um conjunto B, saiba que o conjunto A é o domínio e o conjunto B é o contradomínio, o conjunto no qual a função toma valores; o conjunto imagem é um subconjunto dele.

Monotonicidade da função

A monotonicidade da função é a propriedade que determina se a função, em um dado intervalo, é estritamente crescente, estritamente decrescente, não crescente, não decrescente, constante ou nenhuma das anteriores.

Essa propriedade se lê melhor no gráfico: se você tem a impressão de que o gráfico desce, trata-se de uma função decrescente; se a função sobe, é uma função crescente. Simples assim :-). As definições seriam estas: temos uma função f e sejam x₁, x₂ ∈ D(f). Então dizemos que

• a função f é estritamente crescente (no ensino médio, simplesmente “crescente”) se, para x₁ < x₂, vale f(x₁) < f(x₂).
• a função f é estritamente decrescente (no ensino médio, simplesmente “decrescente”) se, para x₁ < x₂, vale f(x₁) > f(x₂). (A definição é igual, mas no primeiro caso entre os valores da função está < e no segundo >)

Observe o gráfico da função estritamente crescente f(x) = ln(x):

Vemos que, quando escolhemos x₁, x₂ tais que x₁ < x₂, também vale f(x₁) < f(x₂). Agora observe outro gráfico, desta vez da função $f(x)=\frac{1}{x}$, que é estritamente decrescente, por exemplo, no intervalo ]0, +∞[:

Aqui vemos que, quando x₁ < x₂, para os valores da função vale, ao contrário, f(x₁) > f(x₂). Embora x₁ seja menor que x₂, ele “produz” um valor maior da função.

Vamos ainda apresentar as demais definições:

• A função f é não decrescente se, para x₁ < x₂, vale f(x₁) ≤ f(x₂). (A definição é parecida com a da função estritamente crescente; só admitimos que a função tenha valor constante em algum trecho)
• A função f é não crescente se, para x₁ < x₂, vale f(x₁) ≥ f(x₂).
• A função f é constante se o conjunto imagem é um conjunto de um único ponto, ou seja, se para quaisquer dois x₁, x₂ vale f(x₁) = f(x₂).

Um exemplo de função não crescente é a função f(x) = |x|−x:

Observe que no intervalo ]−∞, 0[ a função decresce, mas no restante do intervalo a função tem valor constante (zero). Em todo o domínio, trata-se, portanto, de uma função não crescente.

Função par e função ímpar

Algumas funções podem ser, sob certas condições, pares ou ímpares. O mais simples é conhecer o gráfico da função, onde isso se percebe mais rápido. A função par é simétrica em relação ao eixo y, enquanto a função ímpar é simétrica em relação à origem (0, 0). Um exemplo de função par pode ser y = x² e uma função ímpar é, por exemplo, a função y = 2x. As definições seriam estas — a função f é

• par se, para todo x ∈ D(f), vale f(x) = f(−x),
• ímpar se, para todo x ∈ D(f), vale −f(x) = f(−x).

As funções pares e ímpares são tratadas em um artigo à parte, Função par e função ímpar.

Função injetora

Reconhecemos a função injetora porque todos os seus valores são únicos: nenhum valor da função se repete. Definição:

A função f é injetora se, para todos x₁, x₂ ∈ D(f), vale

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Se escolhermos dois x diferentes do domínio da função, os valores da função nesses pontos precisam ser sempre diferentes.

Graficamente, isso se reconhece, como sempre, de modo bem simples. Se você traçar sobre o gráfico uma reta paralela ao eixo x, ela deve cortar o gráfico no máximo em um ponto. Um exemplo de função injetora é a função afim y = 3x. Qualquer reta que você pegue sempre corta o gráfico em exatamente um ponto. O oposto é, por exemplo, a função seno, cujo gráfico forma uma espécie de ondas; assim, se você traçar uma reta paralela ao eixo x que corte o eixo y no ponto $\frac{1}{2}$, encontrará infinitos pontos de interseção com o gráfico, portanto ela não é injetora.

Função limitada

As funções podem ser limitadas, e isso de três formas: limitadas superiormente, limitadas inferiormente, ou limitadas tanto superior quanto inferiormente — a uma função assim chamamos simplesmente função limitada. A função f é limitada superiormente se encontramos um número real A maior que todos os valores da função f. Analogamente para a função limitada inferiormente. Então, as definições:

• A função f é limitada superiormente se existe A ∈ ℝ tal que, para todo x ∈ D(f), vale A > f(x).
• A função f é limitada inferiormente se existe A ∈ ℝ tal que, para todo x ∈ D(f), vale A < f(x).

Graficamente, podemos imaginar isso como a busca de uma reta paralela ao eixo x (isto é, uma reta horizontal) que fique acima ou abaixo de todo o gráfico da função.

Na figura temos o gráfico da função f(x) = x⁴, que é limitada inferiormente. Observe que não precisamos de modo algum encontrar o A que seja o “mais próximo” do gráfico; basta posicionar a reta em qualquer lugar abaixo do gráfico.

Mínimo e máximo

A função f tem máximo em um ponto M do domínio se nesse ponto M está o maior valor entre todos os valores que a função tem. Analogamente para o mínimo. Definições:

• A função f tem máximo absoluto no ponto M ∈ D(f) se, para todo x ∈ D(f), vale f(x) ≤ f(M) — em suma, o valor da função é o maior no ponto M. Se existe um único máximo, chamamos de máximo estrito.
• A função f tem mínimo absoluto no ponto m ∈ D(f) se, para todo x ∈ D(f), vale f(x) ≥ f(m) — o valor da função é o menor no ponto m.

No gráfico, o máximo e o mínimo da função se encontram com bastante facilidade: basta ver onde a função está mais baixa ou mais alta. Mas é claro que a função não precisa ter nem mínimo nem máximo, ou pode ter apenas mínimo ou apenas máximo; do mesmo modo, a função pode ter apenas extremos locais, mas não ter nenhum extremo em todo o domínio.

Se você precisa encontrar mínimos e máximos, use as derivadas; o procedimento exato está descrito no artigo estudo do gráfico de uma função.

Exemplo

Determine as propriedades da função a partir do gráfico a seguir:

• O domínio dessa função é o intervalo [−4, 4].
• O conjunto imagem é o intervalo [−2, 4].
• A função até parece poder ser estritamente crescente, mas no trecho [0, 2] ela tem valor constante, então não pode ser estritamente crescente. Porém a função não decresce em nenhum intervalo, por isso é uma função não decrescente.
• O gráfico da função não é simétrico em relação ao eixo y nem em relação à origem do sistema de coordenadas, então a função não é par nem ímpar.
• A função é injetora? Já foi dito que no trecho [0, 2] a função tem valor constante, então não pode ser injetora. Para x diferentes ela tem o mesmo y.
• A função é limitada, tanto superior quanto inferiormente. Conseguimos encontrar uma reta horizontal que fique acima de todo o gráfico e também uma que fique abaixo de todo o gráfico.
• A função dada tem também mínimo e máximo. O mínimo está no ponto m = −4 e o máximo no ponto M = 4.