Proprietățile funcțiilor

Funcția este o regulă care asociază fiecărui număr x din domeniul de definiție M exact un y din mulțimea de valori N. Funcția se scrie de obicei sub forma y = f(x), sau o putem exprima explicit f:y = x, unde variabila x este argumentul funcției.

Domeniul de definiție și imaginea funcției

Pentru fiecare funcție trebuie să determinăm și domeniul de definiție, adică mulțimea tuturor valorilor admise ale argumentului x, deci toate valorile pe care le poate lua variabila x. Domeniul de definiție al funcției f se notează D_f.

Un exemplu simplu: f:y = x, aici domeniul de definiție este întreaga mulțime a numerelor reale, D_f = ℝ. Alt exemplu: $f:y=\frac{1}{x}$, în acest caz domeniul de definiție este mulțimea numerelor reale, dar de data aceasta fără zero, deoarece nu se poate împărți la zero, iar expresia nu ar mai avea sens: D_f = ℝ ∖ {0}.

Imaginea funcției este, prin analogie, mulțimea tuturor valorilor y posibile, adică mulțimea tuturor elementelor către care poate „indica” funcția f. Din nou un exemplu simplu: fie funcția f:y = x. Aici imaginea este mulțimea ℝ, deoarece y poate lua orice valoare din această mulțime. Să luăm însă o altă funcție, f:y = |x| (modulul). Aici imaginea va fi egală cu intervalul [0, +∞), deoarece nu se poate întâmpla ca y să fie egal, de exemplu, cu minus cinci, căci acest lucru nu este posibil din definiția modulului.

Dacă ne ținem de noțiunea de funcție definită pe mulțimea A cu valori în mulțimea B, atunci mulțimea A este domeniul de definiție, iar mulțimea B este mulțimea în care funcția ia valori (codomeniul); imaginea este o submulțime a acesteia.

Monotonia funcției

Monotonia funcției este proprietatea care ne arată dacă funcția este, pe un anumit interval, strict crescătoare, strict descrescătoare, descrescătoare (necrescătoare), crescătoare (nedescrescătoare), constantă sau nimic din cele menționate.

Cel mai bine se poate citi această proprietate din grafic: dacă ai impresia că graficul coboară, funcția este descrescătoare, iar dacă funcția urcă, este crescătoare. Simplu, nu-i așa :-). Definițiile ar arăta astfel: avem o funcție f și fie x₁, x₂ ∈ D_f. Atunci spunem că

• funcția f este strict crescătoare dacă, pentru x₁ < x₂, avem f(x₁) < f(x₂).
• funcția f este strict descrescătoare dacă, pentru x₁ < x₂, avem f(x₁) > f(x₂). (Definiția arată la fel, dar în primul caz între valorile funcției este <, iar în al doilea >)

Privește graficul funcției strict crescătoare f(x) = ln(x):

Vedem că, dacă alegem x₁, x₂ astfel încât x₁ < x₂, atunci este valabil și f(x₁) < f(x₂). Acum privește un alt grafic, de data aceasta al funcției $f(x)=\frac{1}{x}$, care este strict descrescătoare, de exemplu, pe intervalul (0, +∞):

Aici vedem că, dacă x₁ < x₂, pentru valorile funcției în aceste puncte avem, dimpotrivă, f(x₁) > f(x₂). Deși x₁ este mai mic decât x₂, „produce” o valoare mai mare a funcției.

Să mai prezentăm și celelalte definiții:

• Funcția f este crescătoare (se spune și nedescrescătoare) dacă, pentru x₁ < x₂, avem f(x₁) ≤ f(x₂). (Definiția este asemănătoare cu cea a funcției strict crescătoare, doar că permitem ca funcția să aibă pe o anumită porțiune o valoare constantă)
• Funcția f este descrescătoare (se spune și necrescătoare) dacă, pentru x₁ < x₂, avem f(x₁) ≥ f(x₂).
• Funcția f este constantă dacă imaginea ei este o mulțime cu un singur element, adică dacă pentru oricare două valori x₁, x₂ avem f(x₁) = f(x₂).

Un exemplu de funcție descrescătoare (necrescătoare) este funcția f(x) = |x|−x:

Observă că pe intervalul (−∞, 0) funcția scade, dar pe restul intervalului funcția are o valoare constantă (zero). Pe întreg domeniul de definiție, este deci o funcție descrescătoare (necrescătoare).

Funcția pară și funcția impară

Unele funcții pot fi, în anumite condiții, pare sau impare. Cel mai simplu este să cunoști graficul funcției, acolo se poate recunoaște cel mai repede. Funcția pară este simetrică față de axa Oy, în timp ce funcția impară este simetrică față de origine, O(0, 0). Un exemplu de funcție pară poate fi y = x², iar o funcție impară este, de exemplu, funcția y = 2x. Definițiile ar arăta astfel — funcția f este

• pară dacă pentru orice x ∈ D_f avem f(x) = f(−x),
• impară dacă pentru orice x ∈ D_f avem −f(x) = f(−x).

Despre funcțiile pare și impare există un articol separat, Funcția pară și funcția impară.

Funcția injectivă

O funcție injectivă se recunoaște prin faptul că toate valorile ei sunt unice, nicio valoare nu se repetă. Definiție:

Funcția f este injectivă dacă pentru orice x₁, x₂ ∈ D_f avem

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Dacă alegem două valori diferite x din domeniul de definiție al funcției, atunci valorile funcției în aceste puncte trebuie să fie mereu diferite.

Grafic, se recunoaște ca întotdeauna foarte simplu. Dacă duci prin grafic o dreaptă paralelă cu axa Ox, ea trebuie să intersecteze graficul în cel mult un punct. Un exemplu de funcție injectivă este funcția de gradul întâi y = 3x. Orice dreaptă ai lua, ea intersectează graficul în exact un punct. La polul opus se află, de exemplu, funcția sinus, al cărei grafic formează un fel de unde, așa că, dacă duci o dreaptă paralelă cu axa Ox care taie axa Oy în punctul $\frac{1}{2}$, vei găsi o infinitate de puncte de intersecție cu graficul, deci nu este o funcție injectivă.

Funcția mărginită

Funcțiile pot fi mărginite, și anume mărginite superior, mărginite inferior sau atât superior, cât și inferior — o astfel de funcție o numim pur și simplu funcție mărginită. Funcția f este mărginită superior dacă putem găsi un număr real A care este mai mare decât toate valorile funcției f. Analog pentru o funcție mărginită inferior. Deci definițiile:

• Funcția f este mărginită superior dacă există A ∈ ℝ astfel încât pentru orice x ∈ D_f avem A > f(x).
• Funcția f este mărginită inferior dacă există A ∈ ℝ astfel încât pentru orice x ∈ D_f avem A < f(x).

Grafic ne-o putem imagina astfel: căutăm o dreaptă paralelă cu axa Ox (adică o dreaptă orizontală) care se află deasupra sau dedesubtul întregului grafic al funcției.

În figură avem graficul funcției f(x) = x⁴, care este mărginită inferior. Observă că nu trebuie deloc să găsim acel A care este „cel mai apropiat” de grafic, ajunge să așezăm dreapta oriunde sub grafic.

Minimul și maximul

Funcția f are în punctul M al domeniului de definiție un maxim dacă în acest punct M se află cea mai mare valoare dintre toate valorile pe care le are funcția. Analog pentru minim. Definiții:

• Funcția f are în punctul M ∈ D_f un maxim global dacă pentru orice x ∈ D_f avem f(x) ≤ f(M) — pe scurt, valoarea funcției este cea mai mare în punctul M. Dacă există un singur maxim, îi spunem maxim strict.
• Funcția f are în punctul m ∈ D_f un minim global dacă pentru orice x ∈ D_f avem f(x) ≥ f(m) — valoarea funcției este cea mai mică în punctul m.

Pe grafic probabil vei găsi destul de ușor maximul și minimul funcției, te uiți pur și simplu unde este funcția cel mai jos sau cel mai sus. Desigur, o funcție nu trebuie să aibă nici minim, nici maxim, sau poate avea doar minim ori doar maxim; de asemenea, o funcție poate avea doar extreme locale, dar pe întreg domeniul de definiție să nu aibă niciun extrem.

Dacă trebuie să găsești minimele și maximele, folosește derivatele; procedeul exact este descris în articolul studiul funcției.

Exemplu

Determină proprietățile funcției după graficul următor:

• Domeniul de definiție al acestei funcții este intervalul [−4, 4].
• Imaginea funcției este intervalul [−2, 4].
• Funcția pare să fie strict crescătoare, dar pe porțiunea [0, 2] funcția are o valoare constantă, deci nu poate fi strict crescătoare. Totuși, funcția nu scade pe niciun interval, de aceea este o funcție crescătoare (nedescrescătoare).
• Graficul funcției nu este simetric nici față de axa Oy, nici față de originea sistemului de coordonate, deci funcția nu este nici pară, nici impară.
• Este funcția injectivă? S-a spus deja că pe porțiunea [0, 2] funcția are o valoare constantă, deci funcția nu poate fi injectivă. Pentru valori diferite ale lui x are același y.
• Funcția este mărginită, și anume atât superior, cât și inferior. Putem găsi o dreaptă orizontală care se află deasupra întregului grafic și una care se află sub întregul grafic.
• Funcția dată are și minim, și maxim. Minimul îl are în punctul m = −4, iar maximul în punctul M = 4.