Radicali

Radicalul este funcția inversă parțială a puterii. Cel mai des lucrăm cu radicalul de ordin doi (rădăcina pătrată), care caută numărul care, înmulțit cu el însuși, dă numărul inițial, cel din care am extras radicalul.

Radicalul de ordin doi

Pentru radical se folosește simbolul $\sqrt{}$, iar ca să nu fim nevoiți să scriem argumentul radicalului în paranteze, cam așa: $\sqrt{}$(25), se trasează o linie orizontală deasupra întregului argument (a expresiei din care vrem să extragem radicalul), astfel: $\sqrt{25}$.

La început ne ocupăm doar de radicalul de ordin doi dintr-un număr real. Îl definim astfel:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Dacă înmulțești radicalul numărului a cu radicalul numărului a, obții numărul a. Așadar, pentru numărul 9 radicalul ar fi egal cu 3, deoarece 3 · 3 = 9.

Expresia anterioară o putem scrie și așa:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Este doar o altă scriere a înmulțirii precedente, și anume cu ajutorul puterii.

Un fapt esențial este că această ecuație este valabilă doar pentru acele a care aparțin domeniului de definiție al radicalului. Într-adevăr, nu putem extrage radicalul dintr-un număr negativ. Putem extrage radicalul din orice număr pozitiv, putem și din zero, dar dintr-un număr negativ nu putem? De ce nu merge?

Presupunem că vrem să calculăm radicalul din −25. În esență avem două posibilități pentru numărul ales: pozitiv sau negativ. Dacă alegem unul pozitiv, avem 5 · 5 = 25. Am obținut 25, dar noi vrem −25. Încercăm deci −5; dar după înmulțire obținem din nou 25. Pe scurt, dacă înmulțești două numere negative, obții un număr pozitiv. La fel și când înmulțești două numere pozitive. Ar trebui să înmulțești −5 · 5 ca să obții −25, iar asta nu merge, pentru că ai înmulți două numere diferite, chiar dacă diferă doar prin semn. De aceea nu se poate calcula radicalul de ordin doi dintr-un număr negativ.

Radicalul de ordin superior

Asemenea cum putem ridica o expresie la puterea a doua, a treia, a patra, putem avea și radicalul de ordin trei, de ordin patru și, în sfârșit, de ordin n dintr-un număr real. Ordinul radicalului se scrie de obicei deasupra „cârligului”, așa:

$$\sqrt[5]{32}$$

Această scriere înseamnă radicalul de ordin cinci din numărul treizeci și doi. Radicalul de ordin n îl definim cu ajutorul puterii a n-a astfel:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in {\mathbb{N}}^{\ast },a,b\ge 0$$

Dacă înlocuim pe n cu doi, obținem radicalul de ordin doi așa cum l-am definit adineauri. Pe scurt, am putea defini și astfel:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Prin convenție, la radicalul de ordin doi nu trebuie să scriem doiul, deci aceste scrieri sunt echivalente:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

Așadar, de exemplu, pentru radicalul de ordin patru ar fi adevărat:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

Și un exemplu concret:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Și invers, 4 · 4 · 4 = 64.

Radicalul dintr-un număr negativ

Știm deja că nu există radicalul de ordin doi dintr-un număr negativ, deoarece a², unde a este număr real, nu va fi niciodată negativ. Totuși, la radicalii de ordin superior nu mai înmulțim doar de două ori, așa că pot apărea cazuri în care radicalul de ordin n dintr-un număr negativ există. Cum stau lucrurile?

Ne încurca faptul că, dacă înmulțim un număr negativ de două ori, obținem un număr pozitiv. Pentru rezultatul −25 aveam nevoie de produsul −5 · 5. Dar ce se întâmplă dacă înmulțim trei numere negative? După înmulțirea primelor două numere negative avem un număr pozitiv. Dar după înmulțirea cu ultimul număr negativ avem din nou un număr negativ. Dacă am mai înmulți o dată (în total de patru ori), ne întoarcem la numerele pozitive.

Concluzia este că, dacă înmulțim un număr negativ de n ori, atunci când n este par produsul este pozitiv, iar când este impar produsul este negativ. De aici deducem că radicalul de ordin n dintr-un număr negativ există atunci când n este impar. Exemplu:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Transformarea în putere

Radicalii se pot transforma ușor în puteri și se face adesea acest lucru, pentru că apoi se lucrează mai bine cu ei. Are loc următoarea relație:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Dacă avem radicalul de ordin n din a, este la fel ca și cum am ridica pe a la puterea 1/n. Îți poate fi de folos și atunci când trebuie să introduci undeva un radical de ordin mai mare decât doi. Adesea nu merge direct, dar în exponent se poate introduce o fracție. Dacă vrei ca un program să-ți deseneze graficul radicalului de ordin patru, cere-i graficul funcției

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Cel mai des se folosește transformarea radicalului de ordin doi:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Formule pentru radicali

Deoarece radicalul se poate transforma ușor în putere, expresiile cu radicali moștenesc formulele pentru puterile în general. Au loc deci următoarele relații:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Totodată au loc aceste relații de bază:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Scoaterea factorilor de sub radical

Scoaterea factorilor de sub radical este o tehnică folosită pentru simplificarea radicalilor și folosește una dintre formulele precedente:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Unele expresii de sub radical se pot descompune într-un produs, apoi se scriu ca doi radicali și, în sfârșit, se extrage radicalul dintr-unul dintre ei. Un exemplu tipic poate fi acesta:

$$\sqrt{4x}$$

Această expresie o putem rescrie, după formula precedentă, astfel:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

Iar acum putem extrage radicalul din patru:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

Asemănător putem rescrie și un număr obișnuit, dacă vrem să păstrăm forma exactă. Deci exemplul:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$