Przystawanie trójkątów
Dwa trójkąty są przystające, gdy jeden z nich wytniemy z papieru i dokładnie nim przykryjemy drugi. Wyciętym trójkątem wolno przy tym dowolnie poruszać: przesuwać go, obracać, a nawet odwrócić na drugą stronę, czyli położyć go spodem do góry jak w lustrze. Nie wolno go tylko rozciągać ani zmniejszać.
W trójkątach przystających odpowiadające sobie boki mają tę samą długość, a odpowiadające sobie kąty tę samą miarę. Na rysunku odpowiadające sobie boki mają ten sam kolor: bok AB jest tak samo długi jak KL, bok BC jak LM, a bok AC jak KM. Zapisujemy to tak:
Kolejność wierzchołków w zapisie nie jest przypadkowa. Mówi, który wierzchołek trafi na który: A na K, B na L, a C na M.
Cechy przystawania trójkątów
Trójkąt ma sześć elementów: trzy boki i trzy kąty. Żeby rozpoznać, że dwa trójkąty są przystające, nie musimy porównywać wszystkich sześciu. Wystarczą trzy, tylko muszą być dobrze wybrane. Które trójki wystarczą, mówią cztery cechy przystawania. Na rysunkach te trzy elementy są zaznaczone kolorem.
Cecha bbb: Dwa trójkąty, które mają równe wszystkie trzy boki, są przystające. Przypomnij sobie, jak rysuje się trójkąt z trzech boków. Punkt C znajdujemy cyrklem jako punkt przecięcia dwóch okręgów. Okręgi te przecinają się wprawdzie w dwóch punktach, nad bokiem AB i pod nim, ale oba powstałe trójkąty są tylko odwróconymi kopiami jednego i tego samego trójkąta. Z trzech boków zawsze wychodzi więc ten sam trójkąt.
Cecha bkb: Wystarczą dwa boki i kąt zawarty między nimi. Kąt musi leżeć przy wierzchołku, w którym te dwa boki się spotykają.
Cecha kbk: Wystarczy jeden bok i dwa kąty do niego przyległe. Ramiona tych kątów przecinają się w jednym punkcie, w trzecim wierzchołku.
Cecha Bbk: Wystarczą dwa boki i kąt leżący naprzeciw dłuższego z nich. Wielkie B w nazwie przypomina, że chodzi o ten dłuższy bok.
Kiedy to nie wystarcza
Bardzo kusi, żeby powiedzieć, że wystarczą dowolne trzy elementy. Nie wystarczą.
Trzy równe kąty to za mało. Trójkąt o tych samych kątach może być dowolnie duży, podobnie jak zdjęcie i jego powiększenie. Takie trójkąty mają ten sam kształt, ale nie ten sam rozmiar, i nazywamy je podobnymi.
Nie wystarczą też dwa boki i kąt leżący naprzeciw krótszego z nich. Spróbujmy narysować taki trójkąt. Najpierw rysujemy kąt α i na jednym z jego ramion odkładamy bok c = |AB|. Punkt C leży na drugim ramieniu i jest oddalony od punktu B o a, więc zataczamy okrąg o środku B i promieniu a. Jeśli a jest mniejsze niż c, okrąg może przeciąć ramię w dwóch punktach:
Trójkąty ABC1 i ABC2 mają równe boki a, c i równy kąt α, a mimo to nie są przystające. Gdyby a było większe niż c, okrąg przecinałby ramię tylko raz. I właśnie to mówi cecha Bbk.
Przykład: szerokość rzeki
Wyobraźmy sobie, że stoimy na brzegu rzeki w punkcie A, a dokładnie naprzeciw nas na drugim brzegu rośnie drzewo S. Jak sprawdzić szerokość rzeki, skoro nie możemy rozciągnąć nad nią taśmy mierniczej?
Idziemy wzdłuż brzegu i po 20 metrach wbijamy kołek P. Potem przechodzimy kolejne 20 metrów aż do punktu B. Tam skręcamy pod kątem prostym, oddalając się od rzeki, i idziemy, dopóki kołek i drzewo nie znajdą się w jednej linii. W tym miejscu leży punkt C.
Trójkąty APS i BPC są przystające na mocy cechy kbk. Boki AP i BP mają po 20 metrów. Kąty przy A i przy B są proste. Kąty przy kołku P są wierzchołkowe, a zatem też mają równe miary. Wynika z tego, że
a bok BC jest tak samo długi jak bok AS, czyli jak szerokość rzeki.
Załóżmy, że z punktu B do punktu C naliczyliśmy 36 kroków, a jeden krok ma około 75 cm. Odległość |BC| wynosi wtedy
Rzeka ma około 27 metrów szerokości, i to bez zamoczenia choćby czubka buta.
Zobacz też
Rozdziały: Trójkąt, Wysokość trójkąta, Środkowa trójkąta, Okrąg opisany i wpisany, Trójkąt prostokątny, Jak narysować trójkąt, Przystawanie trójkątów, Podobieństwo trójkątów, Pole trójkąta, Twierdzenie Pitagorasa
