Congruentie van driehoeken
Twee driehoeken zijn congruent als je de ene uit papier kunt knippen en daarmee de andere precies kunt bedekken. De uitgeknipte driehoek mag je daarbij bewegen zoals je wilt: verschuiven, draaien en zelfs omkeren naar de andere kant. Je mag hem alleen niet uitrekken of verkleinen.
Bij congruente driehoeken zijn overeenkomstige zijden even lang en overeenkomstige hoeken even groot. In de afbeelding hebben overeenkomstige zijden dezelfde kleur: zijde AB is even lang als KL, zijde BC als LM en zijde AC als KM. Dat schrijf je zo op:
De volgorde van de hoekpunten in de notatie is niet toevallig. Ze bepaalt welk hoekpunt op welk valt: A op K, B op L en C op M.
Congruentiekenmerken
Een driehoek heeft zes onderdelen: drie zijden en drie hoeken. Om te zien dat twee driehoeken congruent zijn, hoeven we niet alle zes te vergelijken. Drie volstaan, ze moeten alleen goed gekozen zijn. Welke drietallen volstaan, vertellen vier congruentiekenmerken. In de afbeeldingen zijn deze drie onderdelen met kleur gemarkeerd.
Kenmerk zzz: Twee driehoeken die in alle drie de zijden overeenkomen, zijn congruent. Denk eraan hoe je een driehoek tekent met drie zijden. Punt C vinden we met de passer als snijpunt van twee cirkels. Die snijden elkaar weliswaar in twee punten, boven zijde AB en eronder, maar de twee driehoeken die zo ontstaan zijn slechts omgekeerde kopieën van één en dezelfde driehoek. Uit drie zijden komt dus altijd dezelfde driehoek.
Kenmerk zhz: Twee zijden en de hoek die deze zijden insluiten volstaan. De hoek moet bij het hoekpunt liggen waar de twee zijden samenkomen.
Kenmerk hzh: Eén zijde en de twee hoeken die ernaast liggen volstaan. De benen van beide hoeken snijden elkaar in één punt, het derde hoekpunt.
Kenmerk zzh: Twee zijden en de hoek die tegenover de langere daarvan ligt, volstaan. Let op: het moet echt de hoek tegenover de langere zijde zijn.
Wanneer het niet genoeg is
Het is enorm verleidelijk om te zeggen dat drie willekeurige onderdelen volstaan. Dat is niet zo.
Drie gelijke hoeken zijn te weinig. Een driehoek met dezelfde hoeken kan willekeurig groot zijn, net als een foto en zijn vergroting. Zulke driehoeken hebben dezelfde vorm, maar niet dezelfde grootte, en we noemen ze gelijkvormig.
Ook twee zijden en een hoek tegenover de kortere daarvan volstaan niet. Laten we proberen zo'n driehoek te tekenen. Eerst tekenen we hoek α en op één been zetten we zijde c = |AB| uit. Punt C ligt op het andere been en ligt op afstand a van punt B, daarom tekenen we om B een cirkel met straal a. Als a kleiner is dan c, kan de cirkel het been in twee punten snijden:
De driehoeken ABC1 en ABC2 komen overeen in de zijden a, c en in hoek α, en toch zijn ze niet congruent. Als a groter zou zijn dan c, zou de cirkel het been maar één keer snijden. En dat zegt kenmerk zzh.
Voorbeeld: de breedte van een rivier
Stel je voor dat we aan de oever van een rivier in punt A staan en recht tegenover ons op de andere oever een boom T groeit. Hoe vinden we de breedte van de rivier als we er geen meetlint overheen kunnen spannen?
We lopen langs de oever en na 20 meter steken we een paal P in de grond. Dan lopen we nog eens 20 meter tot punt B. Daar slaan we loodrecht van de rivier af en lopen door totdat de paal en de boom elkaar bedekken. Op die plaats ligt punt C.
De driehoeken APT en BPC zijn congruent volgens kenmerk hzh. Beide zijden AP en BP zijn 20 meter. De hoeken bij A en bij B zijn recht. De hoeken bij de paal P zijn overstaande hoeken en dus ook even groot. Hieruit volgt
en zijde BC is even lang als zijde AT, dus als de breedte van de rivier.
Stel dat we van punt B naar punt C 36 stappen hebben geteld en één stap ongeveer 75 cm is. De afstand |BC| komt dan uit op
De rivier is ongeveer 27 meter breed, en we zijn niet eens nat geworden.
Zie ook
Hoofdstukken: Driehoek, Hoogtelijn van een driehoek, Zwaartelijn van een driehoek, Cirkels bij een driehoek, Rechthoekige driehoek, Hoe teken je een driehoek, Congruentie van driehoeken, Gelijkvormigheid van driehoeken, Oppervlakte van een driehoek, Stelling van Pythagoras
