Triangles égaux

Deux triangles sont égaux quand on peut en découper un dans du papier et recouvrir exactement l’autre avec. On a le droit de bouger le triangle découpé comme on veut : le glisser, le tourner et même le retourner de l’autre côté. Il ne faut simplement ni l’étirer ni le rétrécir.

Dans des triangles égaux, les côtés correspondants ont la même longueur et les angles correspondants la même mesure. Sur la figure, les côtés correspondants ont la même couleur : le côté AB a la même longueur que KL, le côté BC que LM et le côté AC que KM. On l’écrit ainsi :

$$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}KLM$$

L’ordre des sommets dans l’écriture n’est pas le fruit du hasard. Il indique quel sommet tombe sur quel sommet : A sur K, B sur L et C sur M.

Cas d’égalité des triangles

Un triangle a six éléments : trois côtés et trois angles. Pour reconnaître que deux triangles sont égaux, nul besoin de comparer les six. Trois suffisent, à condition de les choisir correctement. Les quatre cas d’égalité indiquent quels triplets suffisent. Sur les figures, ces trois éléments sont mis en évidence par une couleur.

Cas CCC : deux triangles qui ont leurs trois côtés égaux deux à deux sont égaux. Rappelle-toi comment on construit un triangle connaissant ses trois côtés. On trouve le point C au compas, comme point d’intersection de deux cercles. Ils se coupent certes en deux points, au-dessus du côté AB et en dessous, mais les deux triangles obtenus sont simplement des copies retournées l’une de l’autre. À partir de trois côtés, on obtient donc toujours le même triangle.

Cas CAC : deux côtés et l’angle compris entre eux suffisent. L’angle doit être situé au sommet où les deux côtés se rejoignent.

Cas ACA : un côté et les deux angles adjacents à ce côté suffisent. Les côtés des deux angles se coupent en un seul point, le troisième sommet.

Cas CCA : deux côtés et l’angle opposé au plus grand des deux suffisent. L’angle doit donc se trouver en face du plus grand côté. Ce cas est moins connu que les trois premiers et n’a pas de nom fixe dans les manuels français.

Quand cela ne suffit pas

On est fortement tenté de dire que trois éléments quelconques suffisent. Ce n’est pas vrai.

Trois angles égaux, c’est trop peu. Un triangle ayant les mêmes angles peut être aussi grand qu’on veut, comme une photo et son agrandissement. Ces triangles ont la même forme, mais pas la même taille, et on les appelle des triangles semblables.

Deux côtés et un angle opposé au plus petit des deux ne suffisent pas non plus. Essayons de construire un tel triangle. On trace d’abord l’angle α et, sur l’un de ses côtés, on reporte le côté c = AB. Le point C se trouve sur l’autre côté de l’angle et à la distance a du point B, donc on trace autour de B un cercle de rayon a. Si a est plus petit que c, le cercle peut couper le côté de l’angle en deux points :

Les triangles ABC₁ et ABC₂ ont en commun les côtés a, c et l’angle α, et pourtant ils ne sont pas égaux. Si a était plus grand que c, le cercle ne couperait le côté de l’angle qu’une seule fois. C’est exactement ce que dit le cas CCA.

Exemple : la largeur d’une rivière

Imagine que nous sommes au bord d’une rivière au point A et que, juste en face de nous, sur l’autre rive, pousse un arbre S. Comment trouver la largeur de la rivière, alors qu’on ne peut pas tendre un mètre ruban d’une rive à l’autre ?

Nous marchons le long de la rive et, au bout de 20 mètres, nous plantons un piquet P. Puis nous marchons encore 20 mètres jusqu’au point B. Là, nous tournons à angle droit en nous éloignant de la rivière et nous avançons jusqu’à ce que le piquet et l’arbre soient alignés. À cet endroit se trouve le point C.

Les triangles APS et BPC sont égaux d’après le cas ACA. Les deux côtés AP et BP mesurent 20 mètres. Les angles en A et en B sont droits. Les angles au piquet P sont opposés par le sommet, donc ils sont eux aussi égaux. On en déduit que

$$\mathrm{△}APS\cong \mathrm{△}BPC,$$

et le côté BC a la même longueur que le côté AS, c’est-à-dire la largeur de la rivière.

Disons que, de B à C, nous avons compté 36 pas et qu’un pas mesure environ 75 cm. La distance BC vaut alors

$$BC\approx 36\cdot 0,75=27\text{m}$$

La rivière mesure environ 27 mètres de large, et nous ne nous sommes même pas mouillés.

Voir aussi

• Comment construire un triangle
• Triangle
• Report d’un angle