Igualdad de triángulos
Dos triángulos son iguales si, al recortar uno de ellos en papel, podemos cubrir exactamente el otro con él. Con el triángulo recortado podemos hacer lo que queramos: moverlo, girarlo e incluso darle la vuelta, es decir, ponerlo boca abajo como en un espejo. Lo único que no podemos hacer es estirarlo ni encogerlo.
En triángulos iguales, los lados correspondientes miden lo mismo y los ángulos correspondientes tienen la misma amplitud. En la figura, los lados correspondientes tienen el mismo color: el lado AB mide lo mismo que KL, el lado BC lo mismo que LM y el lado AC lo mismo que KM. Se escribe así:
El orden de los vértices en esta expresión no es casual. Indica qué vértice coincide con cuál: A con K, B con L y C con M.
Criterios de igualdad
Un triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos. Para saber si dos triángulos son iguales no hace falta comparar los seis. Bastan tres, siempre que estén bien elegidos. Los cuatro criterios de igualdad nos dicen qué tríos sirven. En las figuras, esos tres elementos aparecen resaltados en color.
Criterio LLL: Dos triángulos son iguales si tienen iguales sus tres lados. Recuerda cómo se construye un triángulo conociendo sus tres lados. Con el compás hallamos el punto C como punto de corte de dos circunferencias. Es cierto que se cortan en dos puntos, uno por encima del lado AB y otro por debajo, pero los dos triángulos que resultan son copias de un mismo triángulo reflejadas una respecto de la otra. Así pues, a partir de tres lados siempre sale el mismo triángulo.
Criterio LAL: Bastan dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. El ángulo tiene que estar en el vértice donde se encuentran los dos lados.
Criterio ALA: Basta un lado y los dos ángulos adyacentes a él. Los lados de los dos ángulos se cortan en un único punto, el tercer vértice.
Criterio LlA: Bastan dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos. La L mayúscula del nombre nos recuerda que se trata del lado mayor.
Cuándo no basta
Resulta muy tentador decir que valen tres elementos cualesquiera. No es así.
Tres ángulos iguales son insuficientes. Un triángulo con esos ángulos puede ser tan grande como queramos, igual que una foto y su ampliación. Esos triángulos tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño, y se llaman semejantes.
Tampoco sirven dos lados y el ángulo opuesto al menor de ellos. Intentemos construir un triángulo así. Primero trazamos el ángulo α y sobre uno de sus lados llevamos el lado c = |AB|. El punto C está en el otro lado del ángulo y a distancia a del punto B, así que trazamos una circunferencia con centro en B y radio a. Si a es menor que c, la circunferencia puede cortar al lado del ángulo en dos puntos:
Los triángulos ABC1 y ABC2 coinciden en los lados a y c y en el ángulo α, y sin embargo no son iguales. Si a fuera mayor que c, la circunferencia cortaría al lado del ángulo en un solo punto. Y eso es justo lo que dice el criterio LlA.
Ejemplo: el ancho de un río
Imagina que estamos en la orilla de un río, en el punto A, y justo enfrente, en la otra orilla, hay un árbol S. ¿Cómo averiguar el ancho del río si no podemos tender una cinta métrica de una orilla a otra?
Caminamos 20 metros a lo largo de la orilla y clavamos una estaca P. Después avanzamos otros 20 metros hasta el punto B. Allí giramos en perpendicular, alejándonos del río, y seguimos andando hasta que la estaca y el árbol queden alineados. En ese lugar está el punto C.
Los triángulos APS y BPC son iguales por el criterio ALA. Los lados AP y BP miden 20 metros cada uno. Los ángulos en A y en B son rectos. Los ángulos en la estaca P son opuestos por el vértice y, por tanto, también iguales. De ahí se deduce que
y el lado BC mide lo mismo que el lado AS, es decir, lo mismo que el ancho del río.
Supongamos que de B a C hemos contado 36 pasos y que cada paso mide unos 75 cm. La distancia |BC| sale entonces
El río mide aproximadamente 27 metros de ancho, y todo ello sin mojarnos los pies.
Véase también
Capítulos: Triángulo, Altura de un triángulo, Mediana de un triángulo, Circunferencias inscrita y circunscrita en un triángulo, Triángulo rectángulo, Cómo construir un triángulo, Igualdad de triángulos, Semejanza de triángulos, Área de un triángulo, Teorema de Pitágoras
