Üçgenlerde Eşlik

İki üçgenden birini kâğıttan kesip tam olarak diğerinin üzerine örtebiliyorsak bu üçgenler eştir. Kestiğimiz üçgeni istediğimiz gibi oynatabiliriz: kaydırabilir, döndürebilir, hatta kâğıdı ters çevirip öbür yüzünü de üste getirebiliriz. Tek yapamayacağımız şey onu germek ya da küçültmektir.

Eş üçgenlerde karşılık gelen kenarların uzunlukları, karşılık gelen açıların ölçüleri birbirine eşittir. Şekilde karşılık gelen kenarlar aynı renkte: AB kenarı KL kenarı kadar, BC kenarı LM kenarı kadar, AC kenarı da KM kenarı kadar uzundur. Bunu şöyle yazarız:

$$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}KLM$$

Köşelerin yazılış sırası rastgele değildir. Hangi köşenin hangisinin üzerine geleceğini belirler: A köşesi K köşesinin, B köşesi L köşesinin, C köşesi de M köşesinin üzerine gelir.

Eşlik Teoremleri

Üçgenin altı elemanı vardır: üç kenar ve üç açı. İki üçgenin eş olduğunu anlamak için altısını da karşılaştırmamız gerekmez. Üçü yeter, yalnız doğru seçilmeleri gerekir. Hangi üçlülerin yettiğini dört eşlik teoremi söyler. Şekillerde bu üç eleman renkle gösterilmiştir.

KKK teoremi: Üç kenarı sırasıyla eşit olan iki üçgen eştir. Üç kenarı verilen üçgenin nasıl çizildiğini hatırla. C noktasını pergelle iki çemberin kesişim noktası olarak buluruz. Çemberler AB kenarının hem üstünde hem altında olmak üzere iki noktada kesişir, ama ortaya çıkan iki üçgen aynı üçgenin ters çevrilmiş kopyalarından başka bir şey değildir. Yani üç kenardan her zaman aynı üçgen çıkar.

KAK teoremi: İki kenar ve bu kenarların arasındaki açı yeter. Açı, iki kenarın buluştuğu köşede bulunmalıdır.

AKA teoremi: Bir kenar ve ona komşu olan iki açı yeter. İki açının kolları tek bir noktada, üçüncü köşede kesişir.

KKA teoremi: İki kenar ve bunlardan büyüğünün karşısındaki açı yeter. Bu teoremde kenarların hangisinin büyük olduğu önemlidir: açı, büyük kenarın karşısında olmalıdır.

Ne Zaman Yetmez

Herhangi üç elemanın yeteceğini söylemek çok cazip gelir. Ama yetmez.

Üç açının eşit olması azdır. Açıları aynı olan bir üçgen istediğimiz kadar büyük olabilir, tıpkı bir fotoğrafla onun büyütülmüş hâli gibi. Bu üçgenlerin şekli aynıdır, ama büyüklüğü aynı değildir; bunlara benzer üçgenler deriz.

İki kenar ve bunlardan küçüğünün karşısındaki açı da yetmez. Böyle bir üçgeni çizmeyi deneyelim. Önce α açısını çizeriz ve kollarından birinin üzerine c = |AB| kenarını taşırız. C noktası öbür kolun üzerindedir ve B noktasından a kadar uzaktadır; bu yüzden B merkezli, yarıçapı a olan bir çember çizeriz. a kenarı c kenarından küçükse çember kolu iki noktada kesebilir:

ABC₁ ve ABC₂ üçgenlerinin a ve c kenarları ile α açısı eşittir, ama yine de bu üçgenler eş değildir. a kenarı c kenarından büyük olsaydı çember kolu yalnızca bir noktada keserdi. KKA teoremi tam olarak bunu söyler.

Örnek: Nehrin Genişliği

Bir nehrin kıyısında A noktasında durduğumuzu ve tam karşımızda, öbür kıyıda bir S ağacı olduğunu düşün. Üzerinden şerit metre uzatamıyorsak nehrin genişliğini nasıl buluruz?

Kıyı boyunca yürürüz ve 20 metre sonra P noktasına bir kazık çakarız. Sonra 20 metre daha yürüyüp B noktasına geliriz. Orada nehirden uzaklaşacak biçimde dik döneriz ve kazıkla ağaç üst üste görünene kadar yürürüz. Bulunduğumuz yer C noktasıdır.

APS ve BPC üçgenleri AKA teoremine göre eştir. AP ve BP kenarlarının ikisi de 20 metredir. A ve B köşelerindeki açılar diktir. P kazığındaki açılar ters açılardır, dolayısıyla onlar da eşittir. Buradan

$$\mathrm{△}APS\cong \mathrm{△}BPC,$$

çıkar ve BC kenarı AS kenarı kadar, yani nehrin genişliği kadar uzundur.

Diyelim ki B noktasından C noktasına 36 adım attık ve bir adım yaklaşık 75 cm. O hâlde |BC| uzaklığı

$$|BC|\approx 36\cdot 0,75=27\text{m}$$

çıkar. Nehir yaklaşık 27 metre genişliğinde ve biz daha ayağımızı bile ıslatmadık.

Ayrıca Bak

• Üçgen Nasıl Çizilir
• Üçgen
• Verilen Açıya Eş Açı Çizme