Congruenza tra triangoli
Due triangoli sono congruenti se, ritagliandone uno dalla carta, possiamo sovrapporlo esattamente all’altro. Il triangolo ritagliato possiamo muoverlo come vogliamo: spostarlo, ruotarlo e persino rovesciarlo sull’altra faccia. Non possiamo però allungarlo né rimpicciolirlo.
In due triangoli congruenti i lati corrispondenti hanno la stessa lunghezza e gli angoli corrispondenti la stessa ampiezza. Nella figura i lati corrispondenti hanno lo stesso colore: il lato AB è lungo quanto KL, il lato BC quanto LM e il lato AC quanto KM. Si scrive così:
L’ordine dei vertici nella scrittura non è casuale. Stabilisce quale vertice cade su quale: A su K, B su L e C su M.
Criteri di congruenza
Un triangolo ha sei elementi: tre lati e tre angoli. Per capire che due triangoli sono congruenti non serve confrontarli tutti e sei. Ne bastano tre, purché scelti nel modo giusto. Quali terne bastano lo dicono i quattro criteri di congruenza. Nelle figure questi tre elementi sono evidenziati con il colore.
Criterio LLL (terzo criterio di congruenza): Due triangoli che hanno congruenti tutti e tre i lati sono congruenti. Ricorda come si costruisce un triangolo dati i tre lati. Il punto C si trova con il compasso come intersezione di due circonferenze. Esse si incontrano in due punti, sopra il lato AB e sotto di esso, ma i due triangoli che ne nascono sono solo copie rovesciate dello stesso triangolo. Da tre lati si ottiene quindi sempre lo stesso triangolo.
Criterio LAL (primo criterio di congruenza): Bastano due lati e l’angolo compreso tra essi. L’angolo deve trovarsi nel vertice in cui i due lati si incontrano.
Criterio ALA (secondo criterio di congruenza): Bastano un lato e i due angoli adiacenti a esso. I lati dei due angoli si incontrano in un solo punto, il terzo vertice.
Criterio LLA: Bastano due lati e l’angolo opposto al maggiore di essi. Nei libri di testo italiani non compare tra i tre criteri classici, ma vale anch’esso. Attenzione: l’angolo deve essere opposto proprio al lato maggiore.
Quando non basta
Si è molto tentati di dire che bastano tre elementi qualsiasi. Non è così.
Tre angoli uguali sono troppo pochi. Un triangolo con gli stessi angoli può essere grande quanto si vuole, come una foto e il suo ingrandimento. Tali triangoli hanno la stessa forma, ma non la stessa grandezza, e si dicono simili.
Non basta nemmeno avere due lati e l’angolo opposto al lato minore. Proviamo a costruire un triangolo di questo tipo. Disegniamo prima l’angolo α e su uno dei suoi lati riportiamo il segmento c = |AB|. Il punto C si trova sull’altro lato e dista a dal punto B, perciò tracciamo con centro in B una circonferenza di raggio a. Se a è minore di c, la circonferenza può intersecare il lato in due punti:
I triangoli ABC1 e ABC2 hanno uguali i lati a, c e l’angolo α, eppure non sono congruenti. Se a fosse maggiore di c, la circonferenza intersecherebbe il lato una volta sola. Ed è proprio questo che dice il criterio LLA.
Esempio: la larghezza di un fiume
Immagina di trovarti sulla riva di un fiume nel punto A e che, esattamente di fronte a te, sull’altra riva, ci sia un albero S. Come scoprire la larghezza del fiume se non possiamo tendere un metro a nastro attraverso l’acqua?
Ci incamminiamo lungo la riva e dopo 20 metri piantiamo un paletto P. Poi percorriamo altri 20 metri fino al punto B. Qui giriamo ad angolo retto, allontanandoci dal fiume, e camminiamo finché il paletto e l’albero non risultano allineati. Quello è il punto C.
I triangoli APS e BPC sono congruenti per il criterio ALA. I due lati AP e BP misurano 20 metri. Gli angoli in A e in B sono retti. Gli angoli in P sono opposti al vertice, e quindi hanno la stessa ampiezza. Ne segue che
e il lato BC è lungo quanto il lato AS, cioè quanto la larghezza del fiume.
Supponiamo che da B a C abbiamo contato 36 passi e che un passo misuri circa 75 cm. La distanza |BC| risulta allora
Il fiume è largo circa 27 metri, e non ci siamo nemmeno bagnati.
Vedi anche
Capitoli: Triangolo, Altezza di un triangolo, Mediana di un triangolo, Circonferenze nel triangolo, Triangolo rettangolo, Come disegnare un triangolo, Congruenza tra triangoli, Similitudine tra triangoli, Area del triangolo, Teorema di Pitagora
