Kongruente trekanter

To trekanter er kongruente, når vi kan klippe den ene ud af papir og præcist lægge den oven på den anden. Den udklippede trekant må vi flytte, som vi vil: forskyde den, dreje den og endda vende den om på den anden side. Vi må bare ikke strække den eller gøre den mindre.

I kongruente trekanter er tilsvarende sider lige lange og tilsvarende vinkler lige store. På figuren har tilsvarende sider samme farve: siden AB er lige så lang som KL, siden BC som LM og siden AC som KM. Det skrives sådan her:

$$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}KLM$$

Rækkefølgen af hjørnerne i skrivemåden er ikke tilfældig. Den bestemmer, hvilket hjørne der falder på hvilket: A på K, B på L og C på M.

Kongruenssætninger

En trekant har seks elementer: tre sider og tre vinkler. For at se, at to trekanter er kongruente, behøver vi ikke at sammenligne alle seks. Tre er nok, de skal bare være valgt rigtigt. Hvilke tripler der er nok, afslører fire kongruenssætninger. På figurerne er disse tre elementer fremhævet med farve.

Sætning sss: To trekanter, der stemmer overens i alle tre sider, er kongruente. Husk, hvordan man konstruerer en trekant ud fra tre sider. Punktet C finder vi med passer som skæringspunkt mellem to cirkler. De skærer hinanden i to punkter, over siden AB og under den, men begge de trekanter, der opstår, er blot spejlvendte kopier af den samme. Ud fra tre sider fremkommer der altså altid den samme trekant.

Sætning svs: Det er nok med to sider og den vinkel, som disse sider danner med hinanden. Vinklen skal ligge ved det hjørne, hvor de to sider mødes.

Sætning vsv: Det er nok med én side og de to vinkler, der ligger op ad den. Vinklernes ben skærer hinanden i ét eneste punkt, i det tredje hjørne.

Sætning Ssv: Det er nok med to sider og den vinkel, der ligger over for den største af dem. Det store S i navnet minder os om, at det er den største side.

Hvornår det ikke er nok

Det er enormt fristende at sige, at tre vilkårlige elementer er nok. Det er de ikke.

Tre lige store vinkler er for lidt. En trekant med de samme vinkler kan være vilkårligt stor, ligesom et foto og dets forstørrelse. Sådanne trekanter har den samme form, men ikke den samme størrelse, og vi kalder dem ligedannede.

Heller ikke to sider og vinklen over for den mindste af dem dur. Lad os prøve at konstruere sådan en trekant. Først tegner vi vinklen α og afsætter på det ene ben siden c = |AB|. Punktet C ligger på det andet ben og er i afstanden a fra punktet B, derfor slår vi en cirkel med centrum i B og radius a. Hvis a er mindre end c, kan cirklen skære benet i to punkter:

Trekanterne ABC₁ og ABC₂ stemmer overens i siderne a, c og i vinklen α, og alligevel er de ikke kongruente. Hvis a var større end c, ville cirklen kun skære benet én gang. Og det er netop det, sætningen Ssv siger.

Eksempel: flodens bredde

Forestil dig, at vi står på bredden af en flod i punktet A, og lige over for os på den anden bred vokser et træ S. Hvordan finder vi flodens bredde, når vi ikke kan stramme et målebånd ud over den?

Vi går langs bredden og efter 20 meter sætter vi en pæl P i jorden. Så går vi yderligere 20 meter til punktet B. Der drejer vi vinkelret væk fra floden og går, indtil pælen og træet dækker hinanden. På det sted ligger punktet C.

Trekanterne APS og BPC er kongruente efter sætning vsv. Begge sider AP og BP måler 20 meter. Vinklerne ved A og ved B er rette. Vinklerne ved pælen P er topvinkler og derfor også lige store. Heraf følger

$$\mathrm{△}APS\cong \mathrm{△}BPC,$$

og siden BC er lige så lang som siden AS, altså som flodens bredde.

Lad os sige, at vi fra punktet B til punktet C talte 36 skridt, og et skridt måler cirka 75 cm. Afstanden |BC| bliver så

$$|BC|\approx 36\cdot 0,75=27\text{m}$$

Floden er cirka 27 meter bred, og vi blev ikke engang våde.

Se også

• Sådan konstruerer du en trekant
• Trekant
• Afsætning af en vinkel