Kongruenta trianglar

Två trianglar är kongruenta om vi kan klippa ut den ena ur papper och lägga den exakt över den andra. Den utklippta triangeln får vi röra hur vi vill: flytta den, vrida den och till och med vända den till andra sidan. Bara sträcka eller krympa den får vi inte.

I kongruenta trianglar är motsvarande sidor lika långa och motsvarande vinklar lika stora. På figuren har motsvarande sidor samma färg: sidan AB är lika lång som KL, sidan BC som LM och sidan AC som KM. Det skrivs så här:

$$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}KLM$$

Ordningen på hörnen i beteckningen är ingen slump. Den avgör vilket hörn som hamnar på vilket: A på K, B på L och C på M.

Kongruenssatser

En triangel har sex element: tre sidor och tre vinklar. För att se att två trianglar är kongruenta behöver vi inte jämföra alla sex. Det räcker med tre, men de måste vara rätt valda. Vilka tre element som räcker framgår av fyra kongruenssatser. På figurerna är de här tre elementen markerade med färg.

Satsen sss: Två trianglar som överensstämmer i alla tre sidor är kongruenta. Kom ihåg hur du konstruerar en triangel utifrån tre sidor. Punkten C hittar vi med passare som skärningspunkt mellan två cirklar. De skär visserligen varandra i två punkter, ovanför sidan AB och under den, men de två trianglar som då uppstår är bara vända kopior av en och samma triangel. Utifrån tre sidor får vi alltså alltid samma triangel.

Satsen svs: Det räcker med två sidor och vinkeln mellan dessa sidor. Vinkeln måste ligga i det hörn där de två sidorna möts.

Satsen vsv: Det räcker med en sida och de två vinklar som ligger intill den. Vinklarnas ben skär varandra i en enda punkt, det tredje hörnet.

Satsen Ssv: Det räcker med två sidor och en vinkel som ligger mittemot den större av dem. Det stora S:et i namnet påminner oss om att det är den större sidan som avses.

När det inte räcker

Det är väldigt frestande att säga att tre valfria element räcker. Det gör de inte.

Tre lika stora vinklar räcker inte. En triangel med samma vinklar kan vara hur stor som helst, ungefär som ett foto och dess förstoring. Sådana trianglar har samma form men inte samma storlek, och vi kallar dem likformiga.

Inte heller räcker det med två sidor och en vinkel mittemot den mindre av dem. Vi försöker konstruera en sådan triangel. Först ritar vi vinkeln α och på det ena benet avsätter vi sidan c = |AB|. Punkten C ligger på det andra benet och har avståndet a från punkten B, så vi ritar en cirkel med medelpunkt B och radien a. Om a är mindre än c kan cirkeln skära benet i två punkter:

Trianglarna ABC₁ och ABC₂ överensstämmer i sidorna a, c och i vinkeln α, och ändå är de inte kongruenta. Om a vore större än c skulle cirkeln skära benet bara en gång. Och det är precis vad satsen Ssv säger.

Exempel: flodens bredd

Tänk dig att vi står på stranden av en flod i punkten A och att det rakt mitt emot oss på andra stranden växer ett träd T. Hur tar vi reda på flodens bredd när vi inte kan dra ett måttband över den?

Vi går längs stranden och efter 20 meter sticker vi ner en käpp P. Sedan går vi ytterligare 20 meter till punkten B. Där svänger vi av vinkelrätt från floden och går tills käppen och trädet hamnar i linje. På den platsen ligger punkten C.

Trianglarna APT och BPC är kongruenta enligt satsen vsv. Båda sidorna AP och BP är 20 meter. Vinklarna vid A och B är räta. Vinklarna vid käppen P är vertikalvinklar och därför också lika stora. Av det följer

$$\mathrm{△}APT\cong \mathrm{△}BPC,$$

och sidan BC är lika lång som sidan AT, alltså som flodens bredd.

Säg att vi räknade 36 steg från punkten B till punkten C och att ett steg är ungefär 75 cm. Avståndet |BC| blir då

$$|BC|\approx 36\cdot 0,75=27\text{m}$$

Floden är ungefär 27 meter bred, och vi blev inte ens blöta om fötterna.

Se även

• Hur du konstruerar en triangel
• Triangel
• Överföra en vinkel