Рівність трикутників

Два трикутники рівні, якщо один із них вирізати з паперу й точно накрити ним другий. Вирізаним трикутником при цьому можна рухати як завгодно: зсувати, повертати й навіть перевертати іншим боком догори. Тільки розтягувати чи зменшувати його не можна.

У рівних трикутників відповідні сторони мають однакову довжину, а відповідні кути — однакову величину. На рисунку відповідні сторони мають однаковий колір: сторона AB дорівнює стороні KL, сторона BC — стороні LM, а сторона AC — стороні KM. Записують це так:

$$\mathrm{△}ABC=\mathrm{△}KLM$$

Порядок вершин у записі не випадковий. Він визначає, яка вершина на яку накладається: A на K, B на L і C на M.

Ознаки рівності трикутників

Трикутник має шість елементів: три сторони й три кути. Щоб визначити, що два трикутники рівні, не обов'язково порівнювати всі шість. Досить трьох, але вони мають бути вибрані правильно. Які трійки достатні, підкажуть чотири ознаки рівності. На рисунках ці три елементи виділено кольором.

Ознака за трьома сторонами: Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам другого, то такі трикутники рівні. Пригадай, як будують трикутник за трьома сторонами. Точку C знаходимо циркулем як точку перетину двох кіл. Вони, щоправда, перетинаються у двох точках, над стороною AB і під нею, але обидва утворені трикутники — лише дзеркальні копії одного й того самого. Отже, за трьома сторонами завжди виходить той самий трикутник. У підручниках це третя ознака рівності трикутників.

Ознака за двома сторонами й кутом між ними: Досить двох сторін і кута між ними. Кут має лежати при вершині, де ці дві сторони сходяться. У підручниках це перша ознака рівності трикутників.

Ознака за стороною і двома прилеглими кутами: Досить однієї сторони й двох кутів, прилеглих до неї. Сторони обох кутів перетинаються в єдиній точці, у третій вершині. У підручниках це друга ознака рівності трикутників.

Ознака за двома сторонами й кутом навпроти більшої з них: Досить двох сторін і кута, що лежить навпроти більшої з них. Головне тут слово «більшої»: кут мусить лежати саме навпроти більшої сторони.

Коли цього замало

Дуже кортить сказати, що досить будь-яких трьох елементів. Ні, не досить.

Трьох однакових кутів замало. Трикутник з такими самими кутами може бути як завгодно великим, як фотографія і її збільшена копія. Такі трикутники мають однакову форму, але не однаковий розмір, і називаються вони подібними.

Не годиться й комбінація двох сторін та кута навпроти меншої з них. Спробуймо побудувати такий трикутник. Спочатку будуємо кут α і на одній із його сторін відкладаємо сторону c = |AB|. Точка C лежить на другій стороні кута й віддалена від точки B на a, тому проводимо коло з центром B і радіусом a. Якщо a менше за c, коло може перетнути сторону кута у двох точках:

Трикутники ABC₁ і ABC₂ мають однакові сторони a, c і однаковий кут α, а проте рівними не є. Якби a було більше за c, коло перетнуло б сторону кута лише раз. Саме це й стверджує ознака за двома сторонами й кутом навпроти більшої з них.

Приклад: ширина річки

Уяви, що ми стоїмо на березі річки в точці A, а просто навпроти нас на другому березі росте дерево S. Як дізнатися ширину річки, якщо протягнути через неї рулетку не можна?

Ідемо вздовж берега й через 20 метрів забиваємо кілок P. Потім проходимо ще 20 метрів до точки B. Там повертаємо під прямим кутом від річки й ідемо, доки кілок і дерево не опиняться на одній лінії. У цьому місці лежить точка C.

Трикутники APS і BPC рівні за стороною і двома прилеглими кутами. Обидві сторони AP і BP мають довжину 20 метрів. Кути при A і при B прямі. Кути при кілку P вертикальні, а отже, теж рівні. Звідси випливає

$$\mathrm{△}APS=\mathrm{△}BPC,$$

а сторона BC дорівнює стороні AS, тобто ширині річки.

Скажімо, від точки B до точки C ми нарахували 36 кроків, а один крок має приблизно 75 см. Тоді відстань |BC| становить

$$|BC|\approx 36\cdot 0,75=27\text{м}$$

Річка завширшки приблизно 27 метрів, і ноги ми навіть не намочили.

Дивись також

• Як побудувати трикутник
• Трикутник
• Перенесення кута