Kolmioiden yhtenevyys
Kaksi kolmiota ovat yhtenevät, kun toisen voi leikata paperista ja peittää sillä toisen täsmälleen. Leikattua kolmiota saa liikuttaa miten tahansa: siirtää, kiertää ja jopa kääntää toisin päin. Sitä ei vain saa venyttää eikä pienentää.
Yhtenevien kolmioiden vastinsivut ovat yhtä pitkät ja vastinkulmat yhtä suuret. Kuvassa vastinsivut ovat samanvärisiä: sivu AB on yhtä pitkä kuin KL, sivu BC kuin LM ja sivu AC kuin KM. Se kirjoitetaan näin:
Kärkien järjestys merkinnässä ei ole sattumanvarainen. Se määrää, mikä kärki osuu mihinkin: A kärkeen K, B kärkeen L ja C kärkeen M.
Yhtenevyyslauseet
Kolmiolla on kuusi osaa: kolme sivua ja kolme kulmaa. Jotta tunnistaisimme kaksi kolmiota yhtenevinä, kaikkia kuutta ei tarvitse verrata. Riittää kolme, kunhan ne on valittu oikein. Mitkä kolmikot riittävät, kertovat neljä yhtenevyyslausetta. Kuvissa nämä kolme osaa on korostettu värillä.
Lause sss: Kaksi kolmiota, jotka vastaavat toisiaan kaikilta kolmelta sivultaan, ovat yhtenevät. Muista, miten kolmio piirretään kolmesta sivusta. Piste C löytyy harpilla kahden ympyrän leikkauspisteenä. Ne leikkaavat kyllä kahdessa pisteessä, sivun AB yläpuolella ja alapuolella, mutta syntyvät kaksi kolmiota ovat vain saman kolmion käännettyjä kopioita. Kolmesta sivusta tulee siis aina sama kolmio.
Lause sks: Riittää kaksi sivua ja niiden välinen kulma. Kulman on oltava siinä kärjessä, jossa molemmat sivut kohtaavat.
Lause ksk: Riittää yksi sivu ja kaksi siihen rajoittuvaa kulmaa. Molempien kulmien kyljet leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä, kolmannessa kärjessä.
Lause Ssk: Riittää kaksi sivua ja niistä suuremman vastainen kulma. Nimen iso S muistuttaa meitä siitä, että kyse on suuremmasta sivusta.
Milloin se ei riitä
On hirveän houkuttelevaa sanoa, että riittävät mitkä tahansa kolme osaa. Ei riitä.
Kolme yhtä suurta kulmaa on liian vähän. Kolmio, jolla on samat kulmat, voi olla miten suuri tahansa, samoin kuin valokuva ja sen suurennos. Tällaisilla kolmioilla on sama muoto mutta ei sama koko, ja niitä kutsutaan yhdenmuotoisiksi.
Ei riitä myöskään kaksi sivua ja niistä pienemmän vastainen kulma. Yritetään piirtää tällainen kolmio. Piirretään ensin kulma α ja merkitään sen toiselle kyljelle sivu c = |AB|. Piste C on toisella kyljellä ja sen etäisyys pisteestä B on a, joten piirretään pisteen B ympärille ympyrä, jonka säde on a. Jos a on pienempi kuin c, ympyrä voi leikata kyljen kahdessa pisteessä:
Kolmioissa ABC1 ja ABC2 sivut a, c ja kulma α ovat samat, mutta silti ne eivät ole yhtenevät. Jos a olisi suurempi kuin c, ympyrä leikkaisi kyljen vain kerran. Ja juuri sen sanoo lause Ssk.
Esimerkki: joen leveys
Kuvittele, että seisomme joen rannalla pisteessä A ja suoraan vastapäätä toisella rannalla kasvaa puu S. Miten joen leveys saadaan selville, kun sen yli ei voi vetää mittanauhaa?
Lähdemme rantaa pitkin, ja 20 metrin päässä pystytämme paalun P. Sitten kävelemme vielä 20 metriä pisteeseen B. Siellä käännymme suoraan poispäin joesta ja kävelemme, kunnes paalu ja puu peittävät toisensa. Siinä kohdassa on piste C.
Kolmiot APS ja BPC ovat yhtenevät lauseen ksk nojalla. Molemmat sivut AP ja BP ovat 20 metriä. Kulmat pisteissä A ja B ovat suoria. Paalun P kohdalla olevat kulmat ovat ristikulmia ja siksi myös yhtä suuret. Tästä seuraa
ja sivu BC on yhtä pitkä kuin sivu AS eli joen leveys.
Sanotaan, että pisteestä B pisteeseen C laskimme 36 askelta ja yksi askel on noin 75 cm. Etäisyydeksi |BC| saadaan silloin
Joki on likimain 27 metriä leveä, emmekä edes kastuneet.
Katso myös
Luvut: Kolmio, Kolmion korkeusjana, Kolmion keskijana, Ympyrä kolmiossa, Suorakulmainen kolmio, Kolmion piirtäminen, Kolmioiden yhtenevyys, Kolmioiden yhdenmuotoisuus, Kolmion pinta-ala, Pythagoraan lause
