Kongruens av trekanter

To trekanter er kongruente når vi kan klippe den ene ut av papir og dekke den andre nøyaktig med den. Vi får flytte den utklippede trekanten som vi vil: forskyve den, dreie den og til og med snu den over på den andre siden. Vi får bare ikke strekke den eller krympe den.

I kongruente trekanter er tilsvarende sider like lange og tilsvarende vinkler like store. På figuren har tilsvarende sider samme farge: Siden AB er like lang som KL, siden BC som LM og siden AC som KM. Det skriver vi slik:

$$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}KLM$$

Rekkefølgen på hjørnene i skrivemåten er ikke tilfeldig. Den bestemmer hvilket hjørne som havner på hvilket: A på K, B på L og C på M.

Kongruenssetninger

En trekant har seks størrelser: tre sider og tre vinkler. For å se at to trekanter er kongruente trenger vi ikke sammenligne alle seks. Det holder med tre, de må bare velges riktig. Hvilke tripler som er nok, forteller fire kongruenssetninger. På figurene er disse tre størrelsene framhevet med farge.

Setningen sss: To trekanter som stemmer overens i alle de tre sidene, er kongruente. Husk hvordan du konstruerer en trekant ut fra tre sider. Vi finner punktet C med passer som skjæringspunktet mellom to sirkler. De skjærer riktignok hverandre i to punkter, over siden AB og under den, men begge trekantene som oppstår, er bare speilvendte kopier av den samme trekanten. Ut fra tre sider får vi altså alltid den samme trekanten.

Setningen svs: Det holder med to sider og vinkelen mellom disse sidene. Vinkelen må ligge i hjørnet der de to sidene møtes.

Setningen vsv: Det holder med én side og de to vinklene som ligger inntil den. Vinkelbeina til begge vinklene skjærer hverandre i ett eneste punkt, det tredje hjørnet.

Setningen Ssv: Det holder med to sider og vinkelen som ligger overfor den største av dem. Den store S-en i navnet minner oss om at det er den største siden det er snakk om.

Når det ikke er nok

Det er veldig fristende å si at tre vilkårlige størrelser er nok. Det er de ikke.

Tre like vinkler er for lite. En trekant med de samme vinklene kan være vilkårlig stor, på samme måte som et foto og en forstørrelse av det. Slike trekanter har samme form, men ikke samme størrelse, og vi kaller dem formlike.

Heller ikke to sider og en vinkel overfor den minste av dem er nok. La oss prøve å konstruere en slik trekant. Først tegner vi vinkelen α og avsetter siden c = |AB| på det ene vinkelbeinet. Punktet C ligger på det andre vinkelbeinet og har avstand a fra punktet B, så vi tegner en sirkel med radius a rundt B. Hvis a er mindre enn c, kan sirkelen skjære vinkelbeinet i to punkter:

Trekantene ABC₁ og ABC₂ stemmer overens i sidene a, c og i vinkelen α, og likevel er de ikke kongruente. Hvis a var større enn c, ville sirkelen skåret vinkelbeinet bare én gang. Og det er nettopp det setningen Ssv sier.

Eksempel: bredden på en elv

Tenk deg at vi står på bredden av en elv i punktet A, og rett overfor oss på den andre bredden vokser et tre T. Hvordan finner vi bredden på elva når vi ikke kan spenne et målebånd over den?

Vi går langs bredden, og etter 20 meter setter vi ned en stake P. Så går vi ytterligere 20 meter til punktet B. Der svinger vi vinkelrett bort fra elva og går til staken og treet dekker hverandre. På det stedet ligger punktet C.

Trekantene APT og BPC er kongruente etter setningen vsv. Begge sidene AP og BP er 20 meter. Vinklene ved A og ved B er rette. Vinklene ved staken P er toppvinkler og dermed også like store. Av dette følger

$$\mathrm{△}APT\cong \mathrm{△}BPC,$$

og siden BC er like lang som siden AT, altså som bredden på elva.

La oss si at vi talte 36 skritt fra punktet B til punktet C, og at ett skritt er omtrent 75 cm. Avstanden |BC| blir da

$$|BC|\approx 36\cdot 0,75=27\text{m}$$

Elva er omtrent 27 meter bred, og vi ble ikke en gang våte.

Se også

• Slik konstruerer du en trekant
• Trekant
• Å avsette en vinkel