Kongruenz von Dreiecken
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn wir eines davon aus Papier ausschneiden und mit ihm das andere genau abdecken können. Das ausgeschnittene Dreieck dürfen wir dabei beliebig bewegen: verschieben, drehen und sogar auf die Rückseite wenden. Nur strecken oder verkleinern dürfen wir es nicht.
Bei kongruenten Dreiecken sind einander entsprechende Seiten gleich lang und einander entsprechende Winkel gleich groß. In der Abbildung haben die entsprechenden Seiten dieselbe Farbe: Die Seite AB ist genauso lang wie KL, die Seite BC wie LM und die Seite AC wie KM. Man schreibt das so:
Die Reihenfolge der Eckpunkte in dieser Schreibweise ist kein Zufall. Sie legt fest, welcher Eckpunkt auf welchen fällt: A auf K, B auf L und C auf M.
Kongruenzsätze
Ein Dreieck hat sechs Stücke: drei Seiten und drei Winkel. Um zu erkennen, dass zwei Dreiecke kongruent sind, müssen wir nicht alle sechs vergleichen. Es genügen drei, sie müssen nur richtig gewählt sein. Welche Dreiergruppen genügen, verraten uns die vier Kongruenzsätze. In den Abbildungen sind diese drei Stücke farbig hervorgehoben.
Satz SSS: Zwei Dreiecke, die in allen drei Seiten übereinstimmen, sind kongruent. Erinnere dich daran, wie man ein Dreieck aus drei Seiten konstruiert. Den Punkt C finden wir mit dem Zirkel als Schnittpunkt zweier Kreise. Diese schneiden sich zwar in zwei Punkten, über der Seite AB und unter ihr, aber die beiden entstehenden Dreiecke sind nur gespiegelte Kopien ein und desselben Dreiecks. Aus drei Seiten ergibt sich also immer dasselbe Dreieck.
Satz SWS: Es genügen zwei Seiten und der Winkel, den diese Seiten einschließen. Der Winkel muss an dem Eckpunkt liegen, in dem sich die beiden Seiten treffen.
Satz WSW: Es genügen eine Seite und die beiden Winkel, die an ihr anliegen. Die Schenkel der beiden Winkel schneiden sich in genau einem Punkt, im dritten Eckpunkt.
Satz SsW: Es genügen zwei Seiten und der Winkel, der der größeren der beiden gegenüberliegt. Das große S im Namen erinnert uns daran, dass es um die größere Seite geht.
Wann es nicht reicht
Es ist verführerisch zu sagen, dass drei beliebige Stücke genügen. Das tun sie nicht.
Drei gleiche Winkel sind zu wenig. Ein Dreieck mit denselben Winkeln kann beliebig groß sein, ähnlich wie ein Foto und seine Vergrößerung. Solche Dreiecke haben dieselbe Form, aber nicht dieselbe Größe, und wir nennen sie ähnlich.
Auch zwei Seiten und der Winkel, der der kleineren der beiden gegenüberliegt, reichen nicht. Versuchen wir, ein solches Dreieck zu konstruieren. Zuerst zeichnen wir den Winkel α und tragen auf einem seiner Schenkel die Seite c = |AB| ab. Der Punkt C liegt auf dem anderen Schenkel und hat vom Punkt B den Abstand a, deshalb zeichnen wir um B einen Kreis mit dem Radius a. Ist a kleiner als c, kann der Kreis den Schenkel in zwei Punkten schneiden:
Die Dreiecke ABC1 und ABC2 stimmen in den Seiten a, c und im Winkel α überein, und trotzdem sind sie nicht kongruent. Wäre a größer als c, würde der Kreis den Schenkel nur ein einziges Mal schneiden. Und genau das sagt der Satz SsW.
Beispiel: Breite eines Flusses
Stell dir vor, wir stehen am Ufer eines Flusses im Punkt A, und direkt gegenüber am anderen Ufer wächst ein Baum S. Wie finden wir die Breite des Flusses heraus, wenn wir kein Maßband darüber spannen können?
Wir gehen am Ufer entlang und stecken nach 20 Metern einen Pflock P in den Boden. Dann gehen wir noch einmal 20 Meter weiter bis zum Punkt B. Dort biegen wir rechtwinklig vom Fluss weg ab und gehen so weit, bis sich Pflock und Baum decken. An dieser Stelle liegt der Punkt C.
Die Dreiecke APS und BPC sind nach dem Satz WSW kongruent. Die Seiten AP und BP sind beide 20 Meter lang. Die Winkel bei A und bei B sind rechte Winkel. Die Winkel beim Pflock P sind Scheitelwinkel und damit ebenfalls gleich groß. Daraus folgt
und die Seite BC ist genauso lang wie die Seite AS, also wie die Breite des Flusses.
Sagen wir, wir haben vom Punkt B bis zum Punkt C 36 Schritte gezählt, und ein Schritt misst etwa 75 cm. Die Entfernung |BC| beträgt dann
Der Fluss ist ungefähr 27 Meter breit, und dabei sind wir nicht einmal nass geworden.
Siehe auch
Kapitel: Dreieck, Höhe im Dreieck, Seitenhalbierende im Dreieck, Kreise am Dreieck, Rechtwinkliges Dreieck, Dreieck konstruieren, Kongruenz von Dreiecken, Ähnlichkeit von Dreiecken, Flächeninhalt des Dreiecks, Satz des Pythagoras
