Podobnost trojúhelníků

Podobné trojúhelníky mají stejný tvar, ale můžou mít jinou velikost. Jeden je zvětšenou nebo zmenšenou kopií druhého, jako když na kopírce zvětšíte obrázek. Kopii klidně můžeme otočit nebo převrátit, na podobnosti to nic nemění.

U podobných trojúhelníků jsou odpovídající úhly stejně velké a odpovídající strany ve stejném poměru. Na obrázku je strana a' dvakrát delší než strana a, strana b' dvakrát delší než b a c' dvakrát delší než c. Tomu číslu říkáme poměr podobnosti a značíme ho k. Každá strana je k-krát delší:

$$a^{\prime }=k\cdot a,b^{\prime }=k\cdot b,c^{\prime }=k\cdot c$$

Na obrázku je k = 2. Kdyby bylo k menší než jedna, třeba $k=\frac{1}{2}$, byl by druhý trojúhelník naopak zmenšený. Podobnost zapíšeme takhle:

$$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$$

Podobně jako u shodnosti nám pořadí vrcholů prozradí, co čemu odpovídá: vrchol A odpovídá vrcholu A', B vrcholu B' a C vrcholu C'. Shodné trojúhelníky jsou vlastně zvláštní případ podobných, s poměrem k = 1: kopie není ani větší, ani menší.

Věty o podobnosti

Jestli jsou dva trojúhelníky podobné, poznáme i bez ověřování všech úhlů a všech stran. Věty o podobnosti připomínají věty o shodnosti, jen místo stejně dlouhých stran hledáme stejné poměry stran.

Věta uu: Mají-li dva trojúhelníky dva páry stejně velkých úhlů, jsou podobné. Měření třetího úhlu si můžeme ušetřit. Úhly v trojúhelníku dávají dohromady vždy 180°, takže i třetí úhly nutně vyjdou stejně.

Věta sss: Pokud se u dvou trojúhelníků shodují všechny tři poměry odpovídajících stran, jsou podobné:

$$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$$

Věta sus: Stačí, aby dvě odpovídající strany měly stejný poměr a úhel, který tyto strany svírají, byl stejně velký.

Příklad: jak vysoký je strom

Na zahradě nám roste vysoký strom a zajímá nás, kolik přesně měří. Šplhat s metrem do koruny se nám nechce. Zapíchneme proto do země svislou tyč vysokou 2 metry. Tyč vrhá stín dlouhý 1,5 metru a strom ve stejnou chvíli vrhá stín dlouhý 12 metrů.

Strom, jeho stín a sluneční paprsek tvoří trojúhelník. Druhý trojúhelník vznikne z tyče, jejího stínu a paprsku. Tyč i strom stojí kolmo k zemi, a tak mají oba trojúhelníky u paty pravý úhel. Sluneční paprsky dopadají ve stejnou chvíli pod stejným úhlem, proto je v obou trojúhelnících stejný i úhel na konci stínu. Máme dva páry stejných úhlů, a podle věty uu jsou tedy trojúhelníky podobné.

Poměr podobnosti vyčteme ze stínů: stín stromu je k-krát delší než stín tyče:

$$k=12:1,5$$

Vydělíme:

$$k=8$$

Strom je tedy osmkrát vyšší než tyč. Výška stromu je

$$v=8\cdot 2$$

Vynásobíme:

$$v=16\text{m}$$

Strom měří 16 metrů. Správnost si ověříme poměrem výšky a stínu, který musí být u obou trojúhelníků stejný. U tyče je $2:1,5=\frac{4}{3}$ a u stromu $16:12=\frac{4}{3}$. Sedí.

Pozor na obsah

Láká to k závěru, že když jsou strany k-krát delší, bude i obsah k-krát větší. Omyl. Obsah naroste k²-krát.

Zkusme si představit trojúhelník se všemi stranami dvakrát delšími. Spojíme-li středy jeho stran, rozpadne se na čtyři trojúhelníky a každý z nich je přesnou kopií původního:

Při poměru podobnosti k = 2 je tedy obsah čtyřikrát větší, ne dvakrát. Obecně platí, že obsah trojúhelníku A'B'C' je

$$S^{\prime }=k^2\cdot S,$$

kde S je obsah původního trojúhelníku. Při k = 3 je obsah devětkrát větší. Je to jako u fotky: když ji zvětšíte na dvojnásobnou šířku i výšku, spotřebuje čtyřikrát víc papíru.

Viz také

• Shodnost trojúhelníků
• Poměry
• Trojčlenka