Congruența triunghiurilor

Două triunghiuri sunt congruente dacă, decupând unul dintre ele din hârtie, îl putem așeza exact peste celălalt. Triunghiul decupat poate fi mișcat cum vrem: îl putem deplasa, roti și chiar întoarce pe partea cealaltă, cu fața în jos. Singurul lucru interzis este să îl întindem sau să îl micșorăm.

La triunghiurile congruente, laturile corespunzătoare au aceeași lungime, iar unghiurile corespunzătoare au aceeași măsură. În figură, laturile corespunzătoare au aceeași culoare: latura AB are aceeași lungime ca KL, latura BC ca LM, iar latura AC ca KM. Se scrie așa:

$$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}KLM$$

Ordinea vârfurilor în scriere nu este întâmplătoare. Ea arată care vârf se suprapune peste care: A peste K, B peste L și C peste M.

Cazurile de congruență

Triunghiul are șase elemente: trei laturi și trei unghiuri. Ca să aflăm că două triunghiuri sunt congruente, nu trebuie să le comparăm pe toate șase. Ajung trei, dar trebuie alese corect. Care trei elemente ajung, ne spun patru cazuri de congruență. În figuri, cele trei elemente sunt evidențiate cu culoare.

Cazul LLL (latură, latură, latură): Două triunghiuri care au toate cele trei laturi respectiv congruente sunt congruente. Amintește-ți cum se construiește un triunghi când se cunosc cele trei laturi. Punctul C îl aflăm cu compasul, ca punct de intersecție a două cercuri. Ele se taie, e adevărat, în două puncte, deasupra laturii AB și sub ea, dar cele două triunghiuri obținute sunt doar copii întoarse ale aceluiași triunghi. Din trei laturi iese deci întotdeauna același triunghi.

Cazul LUL (latură, unghi, latură): Ajung două laturi și unghiul cuprins între ele. Unghiul trebuie să aibă vârful în punctul în care se întâlnesc cele două laturi.

Cazul ULU (unghi, latură, unghi): Ajung o latură și cele două unghiuri alăturate ei. Laturile celor două unghiuri se intersectează într-un singur punct, al treilea vârf.

Cazul LlU (latură, latură, unghi): Ajung două laturi și unghiul opus laturii mai mari dintre ele. Primul L, scris mare, ne amintește că este vorba despre latura mai mare.

Când nu ajunge

Ești foarte tentat să spui că ajung oricare trei elemente. Nu ajung.

Trei unghiuri egale sunt prea puțin. Un triunghi cu aceleași unghiuri poate fi oricât de mare, la fel ca o fotografie și mărirea ei. Triunghiurile de acest fel au aceeași formă, dar nu și aceeași mărime, și le numim asemenea.

Nu ajung nici două laturi și unghiul opus laturii mai mici dintre ele. Să încercăm să construim un astfel de triunghi. Mai întâi construim unghiul α și pe una dintre laturile lui măsurăm latura c = |AB|. Punctul C se află pe cealaltă latură a unghiului, la distanța a de punctul B, așa că trasăm cu centrul în B un cerc de rază a. Dacă a este mai mic decât c, cercul poate intersecta latura unghiului în două puncte:

Triunghiurile ABC₁ și ABC₂ au congruente laturile a și c, precum și unghiul α, și totuși nu sunt congruente. Dacă a ar fi mai mare decât c, cercul ar intersecta latura unghiului într-un singur punct. Exact asta spune cazul LlU.

Exemplu: lățimea râului

Imaginează-ți că stăm pe malul unui râu, în punctul A, iar chiar în fața noastră, pe celălalt mal, crește un copac S. Cum aflăm lățimea râului, dacă nu putem întinde ruleta peste el?

Pornim de-a lungul malului și, după 20 de metri, înfigem un țăruș P. Apoi mai mergem 20 de metri, până în punctul B. Acolo cotim perpendicular pe direcția râului și mergem până când țărușul și copacul se văd pe aceeași linie. În acel loc se află punctul C.

Triunghiurile APS și BPC sunt congruente conform cazului ULU. Laturile AP și BP au amândouă 20 de metri. Unghiurile din A și din B sunt drepte. Unghiurile cu vârful în țărușul P sunt opuse la vârf, deci au și ele aceeași măsură. De aici rezultă

$$\mathrm{△}APS\cong \mathrm{△}BPC,$$

iar latura BC are aceeași lungime ca latura AS, adică lățimea râului.

Să spunem că de la B la C am numărat 36 de pași, iar un pas măsoară aproximativ 75 cm. Distanța |BC| este atunci

$$|BC|\approx 36\cdot 0,75=27\text{m}$$

Râul are aproximativ 27 de metri lățime, și asta fără să ne udăm măcar picioarele.

Vezi și

• Cum construim un triunghi
• Triunghiul
• Construirea unui unghi congruent cu un unghi dat