Ισότητα τριγώνων

Δύο τρίγωνα είναι ίσα, όταν μπορούμε να κόψουμε το ένα από χαρτί και να καλύψουμε ακριβώς το άλλο με αυτό. Το τρίγωνο που κόψαμε μπορούμε να το κινούμε όπως θέλουμε: να το μετακινήσουμε, να το περιστρέψουμε, ακόμα και να το γυρίσουμε ανάποδα, με την πίσω πλευρά προς τα πάνω, σαν να το βλέπουμε σε καθρέφτη. Δεν επιτρέπεται μόνο να το τεντώσουμε ή να το μικρύνουμε.

Στα ίσα τρίγωνα οι αντίστοιχες πλευρές έχουν το ίδιο μήκος και οι αντίστοιχες γωνίες το ίδιο μέτρο. Στο σχήμα οι αντίστοιχες πλευρές έχουν το ίδιο χρώμα: η πλευρά AB έχει το ίδιο μήκος με την KL, η BC με την LM και η AC με την KM. Το γράφουμε ως εξής:

$$\mathrm{△}ABC\cong \mathrm{△}KLM$$

Η σειρά των κορυφών στη γραφή δεν είναι τυχαία. Καθορίζει ποια κορυφή πέφτει πάνω σε ποια: η A στην K, η B στην L και η C στην M.

Κριτήρια ισότητας τριγώνων

Το τρίγωνο έχει έξι στοιχεία: τρεις πλευρές και τρεις γωνίες. Για να καταλάβουμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα, δεν χρειάζεται να συγκρίνουμε και τα έξι. Αρκούν τρία, αρκεί να τα διαλέξουμε σωστά. Ποιες τριάδες αρκούν, μας το λένε τέσσερα κριτήρια ισότητας. Στα σχήματα τα τρία αυτά στοιχεία είναι σημειωμένα με χρώμα.

Κριτήριο Π-Π-Π: Δύο τρίγωνα που έχουν τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία είναι ίσα. Θυμήσου πώς κατασκευάζεται τρίγωνο από τρεις πλευρές. Το σημείο C το βρίσκουμε με το διαβήτη ως σημείο τομής δύο κύκλων. Οι κύκλοι αυτοί τέμνονται βέβαια σε δύο σημεία, πάνω από την πλευρά AB και κάτω από αυτήν, αλλά τα δύο τρίγωνα που προκύπτουν είναι απλώς αναποδογυρισμένα αντίγραφα του ίδιου τριγώνου. Από τρεις πλευρές, λοιπόν, βγαίνει πάντα το ίδιο τρίγωνο.

Κριτήριο Π-Γ-Π: Αρκούν δύο πλευρές και η γωνία που σχηματίζουν. Η γωνία πρέπει να βρίσκεται στην κορυφή όπου συναντιούνται οι δύο πλευρές.

Κριτήριο Γ-Π-Γ: Αρκούν μία πλευρά και οι δύο γωνίες που είναι προσκείμενες σε αυτήν. Οι πλευρές των δύο γωνιών τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, στην τρίτη κορυφή.

Κριτήριο Π-Π-Γ: Αρκούν δύο πλευρές και η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη από αυτές. Στο όνομα γράφουμε πρώτα τη μεγαλύτερη πλευρά, μετά τη μικρότερη και στο τέλος τη γωνία απέναντι από την πρώτη, και αυτή η σειρά μάς θυμίζει ότι η γωνία είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά.

Πότε δεν αρκεί

Είναι πολύ δελεαστικό να πούμε ότι αρκούν τρία οποιαδήποτε στοιχεία. Δεν αρκούν.

Τρεις ίσες γωνίες είναι λίγες. Ένα τρίγωνο με τις ίδιες γωνίες μπορεί να είναι όσο μεγάλο θέλουμε, όπως μια φωτογραφία και η μεγέθυνσή της. Τέτοια τρίγωνα έχουν το ίδιο σχήμα, αλλά όχι το ίδιο μέγεθος, και τα λέμε όμοια.

Δεν επαρκούν ούτε δύο πλευρές και η γωνία απέναντι από τη μικρότερη από αυτές. Ας δοκιμάσουμε να κατασκευάσουμε ένα τέτοιο τρίγωνο. Πρώτα σχεδιάζουμε τη γωνία α και πάνω στη μία πλευρά της παίρνουμε την πλευρά c = |AB|. Το σημείο C βρίσκεται στην άλλη πλευρά της γωνίας και απέχει από το σημείο B απόσταση a, γι' αυτό χαράζουμε κύκλο με κέντρο το B και ακτίνα a. Αν το a είναι μικρότερο από το c, ο κύκλος μπορεί να τμήσει την πλευρά της γωνίας σε δύο σημεία:

Τα τρίγωνα ABC₁ και ABC₂ έχουν ίσες τις πλευρές a, c και ίση τη γωνία α, κι όμως δεν είναι ίσα. Αν το a ήταν μεγαλύτερο από το c, ο κύκλος θα έτεμνε την πλευρά της γωνίας μόνο σε ένα σημείο. Και ακριβώς αυτό λέει το κριτήριο Π-Π-Γ.

Παράδειγμα: το πλάτος του ποταμού

Φαντάσου ότι στεκόμαστε στην όχθη ενός ποταμού στο σημείο A και ακριβώς απέναντί μας, στην άλλη όχθη, φυτρώνει ένα δέντρο S. Πώς θα βρούμε το πλάτος του ποταμού, αφού δεν μπορούμε να τεντώσουμε μια μετροταινία πάνω από το νερό;

Προχωράμε κατά μήκος της όχθης και μετά από 20 μέτρα μπήγουμε έναν πάσσαλο P. Έπειτα περπατάμε άλλα 20 μέτρα ως το σημείο B. Εκεί στρίβουμε κάθετα, μακριά από το ποτάμι, και προχωράμε, ώσπου ο πάσσαλος και το δέντρο να βρεθούν στην ίδια ευθεία με το μάτι μας. Σε αυτό το σημείο βρίσκεται το σημείο C.

Τα τρίγωνα APS και BPC είναι ίσα σύμφωνα με το κριτήριο Γ-Π-Γ. Και οι δύο πλευρές AP και BP έχουν μήκος 20 μέτρα. Οι γωνίες στα A και B είναι ορθές. Οι γωνίες στον πάσσαλο P είναι κατακορυφήν, επομένως είναι και αυτές ίσες. Από αυτά προκύπτει ότι

$$\mathrm{△}APS\cong \mathrm{△}BPC,$$

και η πλευρά BC έχει το ίδιο μήκος με την AS, δηλαδή με το πλάτος του ποταμού.

Ας πούμε ότι από το σημείο B ως το C μετρήσαμε 36 βήματα και ότι κάθε βήμα έχει μήκος περίπου 75 εκατοστά. Η απόσταση |BC| βγαίνει τότε

$$|BC|\approx 36\cdot 0,75=27\text{m}$$

Το ποτάμι έχει πλάτος περίπου 27 μέτρα, και το βρήκαμε χωρίς να βρέξουμε ούτε το δάχτυλό μας.

Δες επίσης

• Πώς να κατασκευάσεις τρίγωνο
• Τρίγωνο
• Μεταφορά γωνίας